206 B. L. van der Waerden.

folgt

f= 0(m).

Dabei bedeutet wiederum vxs ( das von m in 2 i \x 1 , ..x n ] erzeugteIdeal; die Forderung wird jeweils vorausgesetzt in 2 { [x i , ..., x n \ füri = 1, r.

Die zweite Fassung dürfte für Anwendungen wichtiger sein wie dieerste; ihr Beweis ist einfacher.

4. Man braucht offenbar die beiden Sätze nur für Primärideale zubeweisen: Durch die Zerlegung m == [q 1( ..., qj folgt dann der allgemeineSatz unmittelbar, wie im Spezialfall 1. Die zweite Fassung wird dadurchwesentlich vereinfacht; es ist nur zu beweisen:

Ist q ein Primärideal in R, p das zugehörige Primideal, 2= P ( ^,..., | n ),dessen Nullstellenkörper, so existiert eine Zahl g , so daß, wenn f e R, aus

(3) f = 0(q 2 ,{x 1 -i 1 ,...,x n -i n ) e ) in 2 [x t , ..x n ]folgt

f= 0 (q).

Beweis. Wir wollen den allgemeinen Fall auf den schon erledigtenSpezialfall, daß q null -dimensional ist, zurückführen, indem wir gewisseX■ gleich Parametern setzen und so die Dimensionszahl erniedrigen.

Sei l die Dimensionszahl von q, und sei, evtl. nach Umnennung derIndizes, £ 1 ,..., £ l ein irreduzibles System in Q . Dann ist 2 algebraischüber P= P(f 1 , ..., |j). Sei A ein algebraisch-abgeschlossener Erweite-rungskörper von 2, und seien ..., "[& = 1, ..., y] die mitfj +1 , ..., = f/+i, ..., £n ] konjugierten Elementsysteme. Dann sind nach§3,9 die y Punkte {f ls ..., £ { , fj+i, ..., diejenigen Nullstellen vonqj, in denen x x , . ..,x x die Werte £ 1; .. ., haben. Ersetzt man, in allenPolynomen von die Unbestimmte x i , ..., x t durch , ..., so ent-steht ein Ideal qj in /Í [x l + 1 , ..x n ], das nur die endlichvielen Null-stellen £(+!,..., f ® in C n+1 (z 1) hat. Aus (3) folgt, wenn man zu âübergeht und x x , ..., x t = ,..., f, setzt,

F— f{£ i> • • x i+ 1 ; • • • j x n ) = 0 (qj, (£ (+1 i l+ j, ..., x n f„) e )-

Ausübung der Automorphismen von ü, die F elementweise invariantlassen, ergibt:

F= 0 (q d , (x l+1 - Í&, ...,x n - f®) e ).

Mithin sind die Voraussetzungen des Hentzeltschen Satzes für dasnulldimensionale Ideal q r in T [x l + 1 , ..x n ] erfüllt, und es folgt

(4) f=0(q r ).