Nullstellentheorie der Polynomideale.

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Das heißt, f entsteht aus einem Polynom aus qr dadurch, daß manx 1 , ..x x durch | 15 ..ersetzt.

Ein Polynom aus qr hat die Form

ij Xn) ' w ° g ^ xi ' ■■■'

Mithin ist

t = S Xi+i '

Multipliziert man beide Seiten mit dem Hauptnenner y> (| 1S ..£,),so kommt:

V (^i> •••> £¡) f ($l' • • £¡t x i + i> • • X n)

— Zi(£]> ■ • $l) ff i (£l> • • • ' $l> X l +1 > • • •' x n)-Da die , ..., ein irreduzibles System bilden, kann man sie durchUnbestimmte x 1 ,...,x l ersetzen. Die rechte Seite wird dann ein Polynomaus q, also:

yj{x lt ..x t ) f(x 1 , ..x n ) = 0 (q).

Da aber yj (| 1S ..4= 0, so ist yj (x lt .. ., x¡)^0 (p), mithin

f(z ít ..., * n )=Ö (q) q. e. d.

5. Zum Beweise des Hentzeltschen Satzes in der ersten Fassung für einPrimärideal q können wir zunächst wieder voraussetzen, daß P algebraisch-abgeschlossen ist, mithin P—ü. Die Voraussetzung ist hinterher wiein 2 leicht aufzuheben^

Der Beweis verläuft anfangs ungefähr wie der in 4 geführte bis zurFormel (4). Man numeriert wiederum die Unbestimmten so, daß imNullstellenkörper die Elemente £ 1 , ...,£¡ ein irreduzibles System bilden,mithin £ ¡+1 , ..., algebraische Funktionen von ihnen sind. Im Beweise 4ist überall durch zu ersetzen, wo £¡ reguläre Argumentwerte

aus P, f/ +1 , ..., £n die zugehörigen Funktionswerte sind. Für diese £ 1; ...,gilt die Voraussetzung (2). An Stelle der in 4 benutzten KörperP, r, 2, A tritt der einzige Körper P. Man findet nach Analogie von (4):

(5) f' = 0 (q')>

wo der Strich überall bedeutet, daß x lt durch £Í, ..., ç' n ersetzt sind.

Aus dieser Gleichung wollen wir die andere

(6) f = 0 (qr)

[vgl. (4)] ableiten. Das geschieht, indem wir für q eine Basisannehmen. Die Polynome f 1} ...,f r bilden dann offenbar eine Basis fürq', und f x , ..., f r eine Basis für q r . Nach einer von Grete Hermann 32 )nach Hentzelt angegebenen Methode kann man nun die Kongruenz (6)