Abbildungsklassen n- dimension aler Mannigfaltigkeiten.

Von

Heinz Hopf in Berlin.

Brouwer hat die Umkehrbarkeit seines Satzes, daß zwei zu derselben„Klasse" gehörige, d. h. stetig ineinander überführbare Abbildungen einerii-dimensionalen, geschlossenen, zweiseitigen Mannigfaltigkeit ¡1 auf einew-diniensionale Mannigfaltigkeit ;i denselben „Grad" besitzen 1 ), für denFall n = 2 untersucht und dieses Problem durch Angabe der notwendigenund hinreichenden Bedingungen erledigt, die zwei Abbildungen außer derÜbereinstimmung ihrer Gradzahlen erfüllen müssen, um zu derselben Klassezu gehören 2 ) 3 ). Während einige der dabei angewandten Methoden undgewonnenen Ergebnisse nicht an die Dimensionenzahl 2 gebunden sind 4 ),läßt sich, soviel ich sehe, der Beweis gerade des wichtigsten der hierhergehörigen Brouwerschen Sätze nicht ohne weiteres auf den Fall mehr-dimensionaler Mannigfaltigkeiten übertragen. Dieser Satz lautet: „Ist n = 2,und fi' die Kugel , so gehören zwei Abbildungen gleichen Grades zurgleichen Klasse" 2 ).

Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist der Beweis des entsprechendenSatzes für alle n. Er wird — ohne Benutzung des Brouwerschen Resultats —durch Schluß von n — 1 auf n geführt. Die Ubereinstimmung der Gradeder betrachteten Abbildungen f 1 und f„ greift in die im übrigen ganzelementare (§§ 1, 2) Untersuchung dadurch ein (§ 3), daß, wie eine durchVerallgemeinerung Brouwerscher Betrachtungen früher von mir bewiesene

*) Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71.

") Sur la notion de „classe" . .., Proc. of the V. intern. Congr. of Math.,Cambridge 1912. — Over één-éénduidige continue transformares .. ., Amst. Akad.Versl. 21, (1913).

3 ) Aufzählung der Abbildungsklassen endlichfach zusammenhängender Flächen,Math. Ann. 81.

4 ) S. z. B. § 4 meiner Arbeit: Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem, Math.Ann. 95.