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H. Hopf.

Formel 5 ) lehrt, die Anzahl der Punkte von [i, von denen f 1 und f„ zu-einander diametrale, also der Uberführung ineinander am stärksten wider-strebende Bildpunkte liefern, bei richtiger Berücksichtigung von gewissenVielfachheiten 0 ist. Für spezielle /u, z. B. für die n-dimensionalenKugeln, kann man die Benutzung der erwähnten Formel, sowie einigeetwas umständliche vorbereitende Überlegungen (§ 2) durch einfachereBetrachtungen ersetzen (§6).

Anwendung findet unser Satz bei Behandlung gewisser „Randwert-aufgaben". Einer seiner Spezialfälle besagt nämlich, daß sich eine Ab-bildung des Grades 0 einer n- dimension alen Kugel auf eine andere stetigin eine Abbildung auf einen einzigen Punkt verwandeln läßt. Diese Tat-sache ist mit der Lösbarkeit der einfachsten der erwähnten Aufgaben

n+l

identisch, die sich folgendermaßen aussprechen läßt: „Für x v = 1 ist

r=l

ein System von n -f- 1 stetigen, nirgends gleichzeitig verschwindenden

Funktionen F lt ..F n+1 von x 1 , ..., x n + 1 gegeben, dessen Kroneckersche

n+l

Charakteristik 6 ) den Wert 0 hat; man soll für x r 1 ein System ste-

r=l

tiger, nirgends gleichzeitig verschwindender Funktionen /j, ..., f n + 1 vonx 1 ,...,x n + 1 mit den Randwerten F 1 ,...,F n + 1 definieren." (Daß dasVerschwinden der Charakteristik für die Existenz der not-

wendig ist, ist bekannt 0 ).) Einige derartige Randwertaufgaben werdenbehandelt; dabei wird die geometrische Terminologie der anderen Abschnittebeibehalten, die das. Funktionensystem als Vektor, die Charakteristikals Abbildungsgrad deutet (§5).

Nachdem gezeigt ist, daß es höchstens eine Klasse von Abbildungengegebenen Grades der gegebenen Mannigfaltigkeit /i auf die w-dimensionaleKugel gibt, liegt die Frage nahe, ob eine solche Klasse stets existiert.Daß diese Frage, wie gezeigt wird (§ 4), zu bejahen ist, ist nicht selbst-verständlich; denn es hat z. B. jede Abbildung einer Fläche vom Ge-schlecht 0 auf eine Fläche höheren Geschlechts den Grad 0 3 ) 4 ).

§ 1.

Stetige Abänderung von Vektorfeldern.

r(P) bezeichne die Entfernung des Punktes P im n- dimension aleneuklidischen Raum vom Nullpunkt 0 des Koordinatensystems. Durch

6 ) Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen (§2), Math. Ann. 95.

6 ) Kronecker, Uber Systeme von Funktionen mehrer Variabeln, Mon.-Ber. d.Kgl. Pr. Akad. d. Wiss. zu Berlin 1869. — Hadamard, Note sur quelques applicationsde l'indice de Kronecker in Tannery, Introduction à la théorie des fonctions II,2. éd. 1910.