Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 211

r(P) ^ R ist eine w-dimensionale Vollkugel K, durch r (P) = R ihr Rand,die ( n — l)-dimensionale Kugel S"" 1 , charakterisiert. In K sei ein stetigesFeld 3$ auf dem Rand nirgends verschwindender n-dimensionaler Vektorenb (P) definiert. Wir betrachten stetige, die Randvektoren festlassende Ab-änderungen von 35, d. h. in P und einem Parameter t für 0 t t lstetige 7 ) Vektorfunktionen b(P, t), die die Gleichungen

b(P,0) = b(P) für r{P)^R

b(P, t) = b(P) für r(P) = P, 0 rgjj <¡

befriedigen.

Hilfssatz I. Man kann 93 stetig unter Festhaltung der Randvek-toren in ein Vektorfeld abändern, das genau einen verschwindenden Vektorenthält.

Beweis. Wegen des Nichtverschwindens am Rande und der Stetig-keit der b gibt es zwei Zahlen r 1 , r 2 , so daß 0 < r 1 < r 3 < R und fürr(P)^tr 1 stets jb(P)|>0 ist. Wir definieren die stetige Funktion

cp(r) = 1 für 0 r

( P( r ) = ^^ i für r i^ r £ r 2

cp (r) = 0 für r. 2 r R

und führen zunächst mit 0 t 1 folgende, die Randvektoren festhaltendestetige Abänderung aus:

b(P, 0 = [l-<-9'(r(P))]-ü(P).

In ihrem Ergebnis, dem Feld der Vektoren b(P, 1) verschwinden alleVektoren für r(P)^r 1 , während für r(P)>r 1 alle Vektoren von 0 ver-schieden und den ursprünglichen Vektoren b (P) gleichgerichtet, für r (P) ^alle Vektoren unverändert geblieben sind.

Bezeichnet Pr 1 den auf dem Strahl O P in der Entfernung r 1 von Oliegenden Punkt, 33' das Vektorfeld, das aus 33 entsteht, wenn man fürr(P)<r 1 die Vektoren b (P) durch die Vektoren b'(P) = b(Pr 1 ) ersetzt,so ist 33' in O und nur dort unstetig. Das Feld 33 der Vektorenb"(P) = r(P)-b'(P) ist überall stetig, für P=J=0 von 0 verschieden, fürr ^ r i m it 33 gleichgerichtet und auf dem Rand von K mit 33 identisch.

Nun setzen wir die begonnene Abänderung für 1 ^ t ^ 2 folgender-maßen fort:

tj(P,t) = ü(P, l) + (i-l)-<p(r)-b"(P).

') Unter Stetigkeit einer Transformationsfunktion f(P,t ) ist hier und imFolgenden stets gleichmäßige Stetigkeit in den n+1 Variablen x lt . x„, t zu ver-stehen.