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H. Hopf.

Dabei bleiben wieder die Vektoren mit r ^ r„ fest, so daß in dem Er-gebnis

ü(P,2) = ü(P ) l) + 9J (r)-ü"(P)

gewiß Ö(P, 2) + 0 für r ^ r 2 ist; für 0 < r < r 2 aber ist der Vektor9>(r)*ti"(P) =)= 0 und der Vektor ti(P, 1) entweder mit ihm gleichgerichtetoder 0, also t)(P, 2) =J= 0; es ist nur d(0, 2) = 0. Damit ist der Satzbewiesen.

Fragen wir nun, unter welchen Bedingungen sich durch eine Ab-änderung der betrachteten Art sämtliche Nullstellen des gegebenen Vektor-feldes beseitigen lassen. Nehmen wir an, dies sei möglich; mit P r be-zeichnen wir die Randpunkte von K, mit P r den Punkt, der auf O P r imAbstand r von O liegt, mit 33 das Feld der Randvektoren ti(P R ), mit 33*das nullstellenfreie, transformierte Feld der Vektoren ö*(P), dessen Rand-feld ebenfalls ÜB ist. Dann kann man 33 durch den Abänderungsprozeß

Ü(Pr, í) = ti*(P í ), [Ä^«^0]

stetig in das konstante Feld ü*(0) überführen, ohne daß dabei jemalsein Vektor verschwindet; dies läßt sich auch so ausdrücken: Die durchdie Vektoren von 33 vermittelte Abbildung des Randes S" -1 von K aufdie Richtungskugel des w- dimension alen Raumes läßt sich stetig zu einerAbbildung auf einen einzigen Punkt abändern.

Von der hiermit festgestellten Tatsache gilt folgende Umkehrung:Hilfssatz II. Läßt sich das Randfeld 33 stetig in ein Feld 'parallelerVektoren überführen, ohne daß dabei einmal ein Vektor verschwindet, sokann man 33 unter Festhaltung von 33 stetig in ein nirgends verschwin-dendes Vektorfeld abändern.

Beweis. Es gelten die Bezeichnungen des Beweises zu Hilfssatz I. DasFeld 33j der ö(P r ,) läßt sich ebenfalls stetig in ein paralleles Feld über-führen, ohne daß dabei einmal ein Vektor verschwindet, da es durch

ti(P ri ,i) = b(P)>

in 33 übergeführt wird; mithin läßt es sich auch stetig in ein Feld gleicherVektoren transformieren. Es gibt also eine nirgends in ihrem Definitions-gebiet verschwindende stetige Vektorfunktion

tü (P Tl , t ) für r 1 ^ t 0 ,

mit

W(P ri , r 1 ) = ö(P ri ), tt)(P ri , 0)== iü 0 ,wobei tü 0 ein konstanter Vektor ist. Das durch

ö"'(P) = tt,(P ri ,r(P)) für r(P)£ rio"'(P) = ö(P) für r (P) r i