Abbildungsklassen n- dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 213

definierte Feld SS"' hat die beim Beweis des Hilfssatzes I genannten Eigen-schaften von SS" mit dem Unterschied, daß es auch in 0 nicht ver-schwindet. Ersetzt man daher in diesem Beweis 58 durch 95"', so erhältman einen Beweis von Hilfssatz II.

§ 2.

Konzentration der Übereinstimmungspunkte zweier Abbildungen.

Die n-dimensionale, geschlossene, unberandete, zweiseitige Mannig-faltigkeit ¡i sei den eindeutigen und stetigen Abbildungen f x und f„ aufdie n - dimensional e Kugel S n unterworfen. Unter einem Ubereinstimmungs-punkt von f\ und /„ verstehen wir einen Punkt P von ¡u, dessen durchf x und f 2 gelieferte Bilder P 1 = f x (P), P„ = f^{P) zusammenfallen. — Esgilt der

Satz I. Ist n >1, so lassen sich und f 2 stetig in Abbildungen/i und f 2 abändern, die einen einzigen Ubereinstimmungspunkt besitzen 8 ).

Beweis. fi sei eine in ganz u erklärte simpliziale Abbildung"), dief\ so gut approximiert, daß man f ± stetig durch gleichförmige Bewegungder Bildpunkte auf Großkreisbögen in sie überführen kann, für die alsoder sphärische Abstand fi(P)fi(P) kleiner als n ist. Q sei ein Punktvon S n , der nicht auf dem Rande eines Bildsimplex liegt, A 1 ,...,A lseien die Punkte von [x, deren Bild er bei der Abbildung /i ist. Wirdürfen annehmen, daß f 2 (^4;.) 4= Q (A = 1 ,...,l) ist, da wir dies, fallsnötig, durch eine stetige Abänderung von /' 2 erreichen können. f 2 sei einef„ so gut -approximierende in ganz ¡i erklärte simpliziale Abbildung, daßman f« stetig in sie überführen kann, und daß auch f„ (A>„) =f= Q (2 = 1,...,/)ist; f 2 sei ferner so gewählt, daß Q nicht auf dem Rande eines Bild-simplex liegt. B lt ..., B m seien die Punkte, für die fi(B v )=Q (r=list. ® n_1 sei eine [n — 1 ) - dimensionale Kugel der sphärischen Maß-bestimmung von S' 1 mit dem Mittelpunkt Q und so klein, daß 1. sieganz im Innern aller den Punkt Q bei den Abbildungen f x und f 2 be-deckenden Bildsimplexe liegt, und daß 2. die die Punkte A 1 , ...,A l bzw.B 1 , ..., B m umgebenden Mannigfaltigkeiten 9t x ,..., , 93 1 , ..., 33,derenBild bei fi bzw. fó ist, untereinander punktfremd sind.

8 ) Für n= 1 gilt der Satz nicht; denn zwei Abbildungen der Grade g lt g.¡ einerKreislinie auf eine andere haben stets mindestens | g i — g 2 voneinander verschiedeneÜbereinstimmungspunkte.

°) In der in Fußnote l ) zitierten Abhandlung definiert Brouwer die simplizialenApproximationen f' der Abbildung f der Mannigfaltigkeit // auf die Mannigfaltigkeit/t' nur in Teilen von fi; ist fi' jedoch die n- dimensionale Kugel, so läßt sich f' inganz ¡i stetig definieren; s. § 2 meiner unter 6 ) zitierten Arbeit.