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H. Hopf.

b 1 ,...,b m seien die von 2Ï 19 ..., 23^ ...,93 m be-grenzten abgeschlossenen Umgebungen von A 1 , ..B m in /u. Wir ändernnun fi stetig so in eine Abbildung f«, ab, daß /'/ und f,, Uberein-stimmungspunkte höchstens im Innern der a x , ..a v haben,

und daß die durch f[ und f 2 " gelieferten Bilder dieser l -f- m Elementenoch ein Gebiet von S n unbedeckt lassen. Zu diesem Zweck nehmen wirmit S" die stereographische Projektion s von Q aus auf den zu Q dia-metralen Tangentialraum Tq vor. sf x und sf. 2 bilden den abgeschlossenen

, i m -,

Teil ¡i' — /J. — < y](ci). — 21,0 + 2{b v — 93,.) > derart auf das Innengebiet

U=1 v=l >

der Kugel imd auf diese selbstab, daß s/i'(2í¿) = sf¿ (93,,) = ®

ist, während die Punkte von sf 2 (Sí;.), s/i (93,.), sowie alle Punkte8fl(P), deren P auf keinem 91;. oder 33,. liegen, dem Innern von £ an-gehören. Daher ist das Maximum e der Entfernungen s f\ ( P) s fi ( P) für

alle P von ¡i' kleiner als der Durchmesser d von .ft' 1 , c bezeichne den

i , m _

Minimalabstand der Menge 2J s fi ( a >.) + 2sfx(fi v ) von §t, h sei eine

a=I r= i

Zahl, die die Ungleichungen e < h < d, h > d — c erfüllt. Ist nun t eineTranslation in Tq um die Strecke h, so hat die Abbildung f." = s ~ 1 1 s fi von/u auf S n die obengenannten Eigenschaften: f x und f„ haben in /u' keinenÜbereinstimmungspunkt; denn aus fi(P) = f« (P) = s~ 1 tsf-i (P) folgtsfi(P) = tsfi(P), also muß der Abstand der Punkte sf 1 (P) und sfi(P)gleich h > e sein, was für einen Punkt P aus u' unmöglich ist. Da fernerwegen h<d die Innengebiete von ÎÏ und t(Ê) ein gemeinsames Ge-biet y' enthalten und dieses frei von Punkten der Mengen sfi{a>. ) undtsfa {b v ) sowie wegen h>d — c frei von Punkten der Mengen sfi (b v ) undtsf^^ax) ist, ist das Gebiet y — s~ 1 (y') in 3" frei von Punkten derMengen fi(ax), f^'(b r ), fi (£>,.), fü(a>). Schließlich hat fi' auch die Eigen-schaft, sich stetig aus f<¡ erzeugen zu lassen, da dem die Translation therbeiführenden Bewegungsvorgang in Tq vermöge s~ l ein in ganz S" ste-tiger Deformationsprozeß entspricht.

Jetzt schließen wir die a>, und b v in ein einziges Element E ein,dessen Bilder h(E) und (E) zusammen auch noch ein Stück von S nunbedeckt lassen: wir ziehen l + m — 1 einfache Streckenzüge o i+m ^ 1

in ju derart, daß, wenn wir b v = a¿ +v , 93» = 2Í¿+» [v = 1, . m\ setzen,a i seinen Anfangspunkt mit Sí í , seinen Endpunkt mit 9I i+1 , im übrigenaber keinen Pimkt mit einem a i oder einem von ihm selbst verschiedenenOj gemeinsam hat; zur Definition der „Strecke" ist dabei etwa die fi be-stimmende simpliziale Zerlegung von u zugrunde zu legen. Sind u¡ +m - 1hinreichend kleine abgeschlossene Umgebungen der o 1} ..., a; +m _ x , so bildendie Vereinigungsmengen der a i und u i ein Element E. Die von fi und f!! ge-