Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 215

lieferten Bilder der o i sind stückweise analytische Kurven in S n , dafit fi' s~ x tsfv stückweise analytische Abbildungen sind, und lassenmithin, da n > 1 ist, ein Teilgebiet y 1 von y = s -1 (y') frei 10 ); dasselbegilt daher, wenn wir nur die u¿ hinreichend klein wählen, für E und einTeilgebiet y a von y 1 .

[Die Konstruktion des Eléments E durch Bildung der u x ,... stößtauf keinerlei Schwierigkeit, weil die 3^ durch die affinen Abbildungenf[ und fo in die Kugel S 1 " -1 übergehen, also analytische, konvexe Hyper-flächen sind.]

Ist nun R ein Punkt von y 2 , p die stereographische Projektion derKugel S n von Ii aus auf den zu R diametralen ebenen Tangential-raum T R , so sind pf[ und pfV in ganz E stetige Abbildungen, die aufdem Rand von E keinen Übereinstimmungspunkt haben. Wir ordnenjedem Punkt P von E denjenigen Vektor b (P) von T lt zu, dessen Anfangs-punkt p fí (P), dessen Endpunkt p f" (P) ist. Dieses Vektorfeld könnenwir nach Hilfssatz I mittels einer Funktion b (P, t) (0 <[ t ^ 1) stetig so ab-ändern, daß b (P, 0) = b(P) für alle P, ö (P, t) — ü (P). für alle P desRandes von E ist, und daß von den Vektoren t) (P, 1) nur einer, ö(P 0 , 1),verschwindet. Bezeichnen wir nun den Endpunkt des im Punkt pfi(P)angetragenen Vektors ö (P, t) mit p f" (P, t), und setzen wir / a " (P, t)= f" (P) für alle nicht zu E gehörigen P, so wird, während t von 0 bis 1läuft, / 2 " (P) = /o" fP, 0) stetig in die Abbildung f'"(P) = f" (P, 1) über-geführt, die mit fi nur den einzigen Übereinstimmungspunkt P 0 hat. —

Damit ist Satz I bewiesen. Die Frage liegt nahe, wann sich auchder letzte Übereinstimmungspunkt beseitigen läßt. Eine hierfür notwendigeBedingung ist bekannt: lassen sich /j und f„ stetig so abändern, daß siekeinen einzigen Übereinstimmungspunkt mehr haben, so läßt sich f 2 weiterdurch Bewegung der Punkte ( P) auf den von f x (P) nach /„ (P) laufendenGroßkreisen in die zu f x diametrale Abbildung überführen, und die beidenAbbildungsgrade unterscheiden sich daher um den Faktor (—l) n+1 n ). Imfolgenden Paragraphen wird gezeigt werden, daß diese Tatsache umkehrbardie genannte notwendige Bedingung also auch hinreichend ist.

§ 3.

Stetige Überführung zweier Abbildungen gleichen Grades ineinander.

Die am Ende des vorigen Paragraphen erwähnte Umkehrung einesbekannten Satzes lautet folgendermaßen:

10 ) Dies ist die einzige Stelle im' Beweis von"Satz I, an der die Voraussetzungn > 1 benutzt wird.

u ) „Satz von Poincaré-Bohl"; s. Hadamard, a. a. O. S. 467 f.