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H. Hopf.

Satz IIa. Sind f x , f 2 zwei Abbildungen der n-dimensionalen, ge-schlossenen, unberandeten, zweiseitigen Mannigfaltigkeit u auf die n-dimen-sionale Kugel S n , sind g 1 ,g 2 die Abbildungsgrade von f i und f a , undist g. 2 — l) n+1 g 1} so lassen sich f x und f„ stetig in zwei Abbildungenf*, f* überführen, die keinen Übereinstimmungspunkt besitzen.

Dieser Satz ist äquivalent mit dem folgenden:

Satz IIb. Sind F 1 , F„ zwei Abbildungen gleichen Grades von ¡iauf S n , so lassen sie sich stetig ineinander überführen.

Um die Äquivalenz der beiden Sätze zu erkennen, nehme man zu-nächst Satz IIa als richtig an und betrachte zwei Abbildungen F x , F.,,die die Voraussetzungen von IIb erfüllen. Bezeichnet die zu F a dia-metrale Abbildung von /1 auf S n , so erfüllen f x = F lt /„ = F 3 die Voraus-setzungen von IIa, lassen sich also in zwei übereinstimmungsfreie undnach dem am Schluß des vorigen Paragraphen erwähnten bekannten Ver-fahren sogar in zwei zueinander diametrale Abbildungen f*, f* = f*stetig überführen. Bei diesem Prozeß werden F i = f x und F„ = f„ beidein f* übergeführt, so daß also die Behauptung IIb erfüllt ist. Wirdandererseits IIb als bewiesen angenommen, und erfüllen f i; die Voraus-setzungen von IIa, so kann man F 1 =f 1 ,F i =f i ineinander, d.h. f xund fg in zwei zueinander diametrale, also gewiß übereinstimmungsfreieAbbildungen überführen.

Den Beweis des Satzes IIa, b führen wir durch vollständige In-d ukt ion: er sei für die Dimensionenzahl n — 1 bewiesen, und f x , f. 2 seienzwei Abbildungen der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit fx mit den in IIavorausgesetzten Eigenschaften. Gemäß Satz I führen wir sie stetig inzwei Abbildungen f*, f* mit einem einzigen Übereinstimmungspunkt P 0 über.Ist J 13 der „Index der Übereinstimmung" 5 ) von f*, f* in P 0 , so folgtaus der Formel 5 ) «7 ia = (— 1)"^ + gr 3 , da g., = (— l)" +1 ö' ] ist, J 12 = 0.Das bedeutet: vollzieht man von einem nicht mit Q = f* (P 0 ) = f* (P 0 )identischen Punkt R von S n aus die stereographische Projektion p aufden zu R diametralen Tangentialraum T 1{ und ordnet jedem Punkt Pdes P 0 enthaltenden Elements E, das so klein sei, daß R weder von f* (E),noch von f* (E) bedeckt wird, denjenigen Vektor ü (P) von T R zu, dessenAnfangspunkt pf*(P), dessen Endpunkt pf*(P ) ist, so hat die durchdie ü (P) vermittelte Abbildung des Randes © von E auf die Richtungs-kugel S n ~ 1 von Tji den Grad 0. Diese Abbildung läßt sich, da Satz IIbfür die Dimensionenzahl n—1 als richtig betrachtet wird, stetig über-führen, in eine Abbildung von (£ auf einen einzigen Punkt der Richtungs-kugel. Dann läßt sich nach Hilfssatz II das Feld der t> (P) unter Festhaltungder Randvektoren stetig in ein nirgends verschwindendes Feld abändern.