Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 217

Dieser Änderung lassen wir, ebenso wie im Beweis des Satzes I, einestetige Änderung von f.* entsprechen, die f* in allen Punkten von ¡u auf @und außerhalb E ungeändert läßt. Ihr Ergebnis ist eine Abbildung f* *,die mit f* in keinem Punkt übereinstimmt. Satz II gilt also auch fürdie Dimensionenzahl n.

Wir haben ihn nur noch für n = 1 zu beweisen. In diesem Fallsind f.i und S 1 durch Kreise repräsentiert; a seien die Winkelkoordinatenvon fx, ß die von S 1 , f eine Abbildung des Grades g von ¡u auf S 1 , undes sei f(0) = 0; dann ist

f(cc + 2n-m) = f[a) + 2 um g ,

und mittels der Funktion

f(a, t) = ( 1 — ) -\-t-ga,

die für jedes t ¡x eindeutig und stetig auf S 1 abbildet, wird f, währendt von 0 bis 1 wächst, stetig in die „Normalform"

f*(a) = f(a, 1) = gatransformie rt. — Damit ist Satz IIa, b vollständig bewiesen.

§ 4.

Die Klassen der Abbildungen einer ^-dimension alen, geschlossenen,

zweiseitigen Mannigfaltigkeit auï die w-dimensionale Kugel.

Nachdem so gezeigt ist, daß es bei gegebener Mannigfaltigkeit fi undgegebener Gradzahl g höchstens eine Klasse von Abbildungen des Grades gvon ¡i auf S n gibt, ist zu untersuchen, ob diese Klasse auch wirklich stetsexistiert. Wir dürfen dabei, wie aus dem letzten Absatz des vorigenParagraphen hervorgeht, den Fall n = 1 beiseite lassen.

n+1 a

Sei zunächst /u = S n und durch die Gleichung £ = 1 im (n+1)-

v=l

dimensionalen euklidischen Kaum definiert. Führen wir in dem ebenenw-dimensionalen Raum x n + 1 = 0 „Zylinderkoordinaten" r,qp,x 3 ,...,x ndurch die Beziehungen x 1 = r cos cp, x^ — r sin cp ein, so wird dieser Raum,wenn die ganze Zahl g > 0 ist, durchr' = r , cp = g • cp, x'„ — x v [v = S,n\derart auf sich abgebildet, daß jedes hinreichend kleine Gebiet, in demr > 0 ist, von genau g punktfremden Gebieten positiv, von keinem Gebietnegativ überdeckt wird. Vermöge stereographischer Projektion vom Punktx n+1 = l, x v = 0 [»' = 1 , ..n] aus entspricht dieser Abbildung eineAbbildung des Grades g von S n auf sich. Da ferner durch x,', = x y[v — l,...,n\, x' n+1 = — x n+1 eine Abbildung des Grades —1 von S nauf sich definiert und die Existenz von Abbildungen des Grades 0 trivialist, gibt es Abbildungen von S n auf sich mit jeder beliebigen Gradzahl.

Mathematische Annalen. 96. 15