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H. Hopf.

Um nun dasselbe für die Abbildungen einer beliebigen Mannigfaltig-keit ¡u auf S n nachzuweisen, genügt, da bei Zusammensetzung zweierAbbildungen sich die Gradzahlen multiplizieren, die Herstellung einerAbbildung des Grades +1 von fx auf S n . Wir konstruieren eine solchefolgendermaßen : P 1 , ..., P k seien die Eckpunkte einer simplizialen Zer-legung von ¡u, T\ , .. Pk irgendwelche k Punkte des (n + l)-dimensionalenRaumes, von denen niemals n -f- 2 einem îi- dimensionalen ebenen Raumangehören; jedes Simplex mit Ecken P m , P m , ..., P OT „ +1 der Zerlegung von ¡ubilden wir simplizial 1 ) auf das entsprechende Simplex P mi , P' m „,P 7 '„ n ^ tab; auf diese Weise wird fi einer eindeutigen und stetigen AbbildungP' = s (P) auf eine aus endlich vielen Simplexen des gewöhnlichen Raumesbestehende Punktmenge fx! unterzogen, und diese Abbildung ist im Innernder Simplexe eindeutig umkehrbar. Nun betrachten wir eine gerichteteGerade des Raumes, die ¡xaber keine der (n — l)-dimensionalen Schnittezweier Simplexe von ¡x' trifft, und auf ihr einen Punkt B, der hinterdem ersten Schnittpunkt A, aber vor jedem weiteren Schnittpunkte mit u'liegt, Wir projizieren /¿' von B aus auf eine Kugel S n um B; bezeich-nen wir diese Projektion mit p, so wird ju durch die Abbildung ps(P)auf S n bezogen. Dabei wird eine Umgebung des Schnittpunktes des StrahlsBA mit S n einfach überdeckt, mithin hat die Abbildung ps den Grad±1. — Damit ist bewiesen:

Satz III. Ist u eine n-dimensionale, geschlossene, zweiseitige Mannig-faltigkeit und g eine beliebige ganze Zahl, so gibt es eine und nur eineKlasse von Abbildungen des Grades g von ju auf die n-dimensionaleKugel S n (n ^ 1).

§5.

Randwertaufgaben für Vektorverteilungen.

1. Ist im Innern und auf dem Rande des n- dimensionalen ElementesE n im n- dimensionalen euklidischen Raum ein nirgends verschwindendesVektorfeld 58 gegeben, so hat die durch die Randvektoren von SS ver-mittelte Abbildung des Randes (S n ~ 1 von E n auf die Richtungskugel not-wendig den Grad 0"). Aus Satz II ergibt sich die Umkehrung dieser Tat-sache, d.h. die Lösbarkeit folgender „Randwertaufgabe":

Auf dem Rande (£ n_1 des «-dimensionalen Elementes E" im n- dimen-sionalen euklidischen Raum ist eine nirgends verschwindende stetigeVektorverteilung SS gegeben, die eine Abbildung des Grades 0 von © n_1auf die Richtungskugel vermittelt; man soll ein in ganz E n stetiges undnirgends verschwindendes Vektorfeld SS mit den Randwerten SS konstruieren.