Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 219
Diese Aufgabe ist in der Tat stets lösbar: wir dürfen ohne Be-schränkung der Allgemeinheit annehmen, daß E n eine Vollkugel vomRadius 1 ist, da ein Element ja deren eineindeutiges stetiges Bild ist. NachSatz II kann man SS stetig in ein Feld paralleler, also auch in ein Feldgleicher Vektoren abändern, ohne daß während dieses Vorganges jemalsein Vektor verschwindet. Es gibt mithin eine für alle Punkte P von©" -1und 1 ^ 1 0 erklärte stetige Funktion b (P, t) mit
b(P, l) = b(P), b(P, 0) = b o ,
wobei Ö (P) die Vektoren von SS, b 0 einen festen Vektor bezeichnet. Jetztwird die Aufgabe durch b (P t ) = b (P, t) gelöst, wenn P t der auf dem zu Pgehörenden Radiusvektor im Abstand t vom Mittelpunkt gelegene Punkt ist.
Bevor wir- eine Verallgemeinerung der eben behandelten Aufgabelösen, betrachten wir noch einige ähnliche, einfachere Aufgaben, zu derenLösung keiner der im Vorstehenden bewiesenen Sätze benutzt wird.
2. Es sei k<n. Auf dem Rande des im n-dimensionaleneu kli dischen Raum liegenden fc-dimensionalen Elementes E l ist eine stetige,nirgends verschwindende, im übrigen ganz beliebige Vektorverteilung SSgegeben. Man soll eine in ganz E l stetige, nirgends verschwindende Vektor-verteilung S3 mit den Randwerten SS konstruieren.
Die bei Behandlung der ersten Aufgabe benutzte Methode lehrt, daßes zur Lösung der jetzt gestellten Aufgabe genügt, die durch SS vermittelteAbbildung f von auf die Richtungskugel S"" 1 stetig in eine Ab-
bildung auf einen einzigen Punkt überzuführen. Dies ist aber stets mög-lich; denn erstens kann man/ - stetig in eine/" approximierende simplizialeAbbildung f' überführen, indem man die Punkte f{P) gleichförmig aufden Großkreisbögen nach f'(P) laufen läßt, falls nur der sphärische Ab-stand f(P)f'(P)<ji ist, und zweitens kann man, da die Abbildung f'stückweise analytisch ist und die Menge daher wegen k<n ein
Gebiet von >S n_1 frei läßt, die Punkte f'(P) auf den Großkreisbögen, dievon einem von nicht bedeckten Punkt A ausgehen, gleichförmig
in den Gegenpunkt Ä von A überführen.
3. W n sei ein 7i-dimensionaler Quader, d.h. eine durch \x v \ <¡c„,c v > 0 (v = 1, ..n) im 7i-dimensionalen euklidischen Raum definiertePunktmenge. 9î x sei ein „vollständiger" Teil des Randes 3Ï von W",d. h. ein solcher Teil von 9Î, daß, wenn ein innerer Punkt eines &-dimen-sionalen Randquaders W'" von W n zu 9^ gehört, W'~ ganz zu 9^ gehört(0 ^ k n — 1). 3^ sei aber nicht der ganze Rand von W", es gebe alsoein W n ~ x , dessen innere Punkte nicht zu gehören. (Sij braucht nichtzusammenhängend zu sein.) Auf ist eine stetige, nirgends verschwindende
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