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H. Hopf.

Vektorverteilung SS gegeben. Man soll in W" eine stetige, nirgends ver-schwindende Vektorverteilung SS definieren, die in mit SS übereinstimmt.

W"~' sei ein nicht zu 9Î X gehöriger (n — l)-dimensionaler Quadervon 9Î. Durch Anbringung willkürlicher Vektoren in etwa noch unbesetztenEcken W° und durch sukzessive Lösung von Aufgaben des Typus 2 fürdie W 1 , W\ ... läßt sich in allen Punkten von 3Í, die nicht innere Punktevon W"" 1 sind, eine stetige, nirgends verschwindende Vektorverteilung SS'definieren, die in $R 1 mit üß übereinstimmt. Sei nun IF" -1 etwa die durchX = c n definierte Seite von W n . Dann wählen wir einen Punkt A mitden Koordinaten x v = 0 (v = 1, 1), x n = a>c n ; jeder Punkt P

von W" wird von A aus in einen und nur einen Punkt P des mit Rand-vektoren ö bereits versehenen Teils des Randes von W n projiziert. Durchdie Bestimmung ü(P) = ti(P) wird unsere Aufgabe gelöst.

(Die analoge Aufgabe für ein Simplex statt für einen Quader istanalog lösbar.)

4. Nunmehr können wir eine Verallgemeinerung der Aufgabe 1 lösen:

Auf dem Rande des n-dimensionalen Elements E n im n - di-

mension alen euklidischen Raum sei ein stetiges, nirgends verschwindendesVektorfeld SS gegeben, das eine Abbildung des Grades a von (£ n ~ 1 auf dieRichtungskugel vermittelt; ferner seien im Innern von E n k Punkte

P 1 , P,, ..., P t . (k^>0) gegeben und derart mit ganzen Zahlen a x , a„, , a kk

versehen, daß a y . — a ist. Man soll ein in ganz E n stetiges Vektor-

X=1

feld SS mit den Randwerten SS konstruieren, das in den Punkten P 1 , P 9 ,..., P k von den Ordnimgen a ± , a 2 , a k , sonst aber nirgends, ver-schwindet. Dabei ist die Ordnung einer Nullstelle eines Vektorfeldes gleichdem Index der Singularität des zugehörigen Richtungsfeldes, d. h. gleichdem Grade der durch das Feld vermittelten Abbildung einer die Nullstelleumgebenden Kugel auf die Richtungskugel, (n^l.)

Wir denken uns E n durch den „Würfel" 0 ^ x v 1 (v = 1, 2, ..., n)repräsentiert und zerlegen diesen durch (n — 1 )-dimensionale ebene, seinenSeiten parallele Räume derart in rechteckige Quader, daß kein P y _ aufdem Rand eines Quaders liegt, daß kein Quader W x , der einen der P xenthält, noch einen zweiten dieser Punkte P x enthält, daß kein derar-tiger W x an den Rand von E" stößt, und daß kein Quader der Zerlegungmit mehr als einem W x einen Punkt gemeinsam hat.

Auf dem Rande jedes W x bringen wir nun, was, da n — 1 1 ist,nach § 4 möglich ist, eine stetige, nirgends verschwindende VektorverteilungSS* an, die ihn mit dem Grade a x auf die Richtungskugel abbildet; ist Pein Punkt des Innern von W x , P' der Schnittpunkt des Strahles P X Pmit dem Rande von W x , so ordnen wir dem Punkt P denjenigen Vektor b (P)