Abbildungsklassen n-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 221

zu, der parallel zu v(P') ist und dessen Länge sich zu der von Ö(-P')verhält wie die Strecke P K P zu der Strecke P X P'. Nachdem so die W xin vorschriftsmäßiger Weise mit Vektoren versehen sind, haben wir indem Rest von E n ein nullstellenfreies Vektorfeld mit den richtigen Rand-werten zu konstruieren.

Zu diesem Zweck bringen wir die Teilquader von E n in eine be-stimmte Reihenfolge. Die Zerlegung von E n werde dadurch bewirkt, daßman jede der Strecken 0 (v = \,..., n) in m v Strecken sl, s\, ..., Sm y

zerlegt; dann sind die Quader eineindeutig bestimmt durch n Indizes« 1 , a. 2 , ..., a n , die besagen, daß der betreffende Quader zu den Streckens«, j sl,, •. •, Sa n gehört. Wir ordnen nun die Quader lexikographisch, d. h. :es sei (« 1; «. 2 , <(ß 1 , ß 2 , ...,ß n ), wenn es ein ? ^ 1 8 ibt > so

daß a. < ß. , aber a { = ß { für i < j ist. Bei dieser Ordnung gibt es zujedem Quader (« 1; « 2 , ..., u n ) außer zu dem letzten (m lf m a , ..., m n )mindestens einen, (ai , cc%, .. «»)> der die Bedingungen erfüllt:(^i > ^2 j • • • ) ^n) j ^2 s ■ ■ * ? a n ), b ) ( , oig , . * *, ßjj) hat mit(a 1 ,a 2 ,..a n ) eine (n — l)-dimensionale Seite gemeinsam; c ) añ)

ist keiner der W x . — In der Tat existiert ein solcher (cc[, a¡¡, ..cc„);ist nämlich für kein v a v = m v , so erfüllen die Quader (c^ + l, a 2 , ..., cc n )und (a 1 , a 2 1 , ..., a n ) beide die Bedingungen a) und b), und mindestenseiner von ihnen außerdem c), da die Teilung so fein gewählt war, daßkein Quader an zwei verschiedene W x stößt; ist andererseits für ein vu r = m v , so gibt es wegen (a t , ß 2 , ..., a n ) =f= (m 1 , m 3 , .. ., m„) einen

Index ix, für den cc^ < m fl ist, und der Quader (cc¿, «á a¿)

= (a 1 , ttn-i, «, t + l, cc fl + 1 , •.« n ) erfüllt außer a) und b) auch c),da kein W x an den Rand stößt und dieses (%', «Ó, . .., a¿) den Index m venthält, also ein Randquader ist.

Sind nun die r ersten der so geordneten Quader derart stetig mitaußer in den P x nicht verschwindenden Vektoren versehen, daß diese aufdem Rande von E n und in den W x mit den dort bereits angebrachtenVektoren übereinstimmen, und ist der nächste, noch nicht mit Vektorenversehene Quader noch nicht der letzte in unserer Ordnung, so könnenwir auch in ihm in vorschriftsmäßiger Weise Vektoren definieren, die sichstetig an die bereits vorhandenen anschließen; denn infolge der Eigen-schaften a), b), c) besitzt er eine noch nicht mit Vektoren belegte(n — 1)- dimensional e Seite. Die Bestimmung der Vektoren in ihm führtalso auf Aufgabe 3, welche wir lösen können. So sind schließlich in allenQuadern, außer in dem letzten, IF*, sowie auf dem Rande 91* von W*die Vektoren definiert. Wie groß ist nun der Grad der durch die auf 'angebrachten Vektoren vermittelten Abbildung von 3Î* auf die Richtungs-kugel? Um ihn zu bestimmen, addieren wir die Grade der Abbildungen