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H. Hopf.

auf die Richtungskugel der Ränder aller Teilquader: Jeder W x liefert denBeitrag a K , W* den Beitrag x, jeder andere Quader den Beitrag 0, dain ihm die Vektoren nirgends verschwinden; die Summe ist also

k

x -f- yj a x — x + a \ andererseits ist diese Summe gleich dem Grade der

X=1

Abbildung des Randes der Summe aller Quader, also des Randes von E n ;dieser Grad ist a, d. h. es ist x = 0. Mithin läßt sich die Vektor-verteilung wegen der Lösbarkeit der Aufgabe 1 auch in Wnullstellenfreifortsetzen, und damit ist Aufgabe 4 gelöst.

Zusatz. Bei der Definition der Felder SS* in den W x können wir inweitgehendem Maße willkürlich verfahren, wir haben nur den in vor-geschriebenen Index zu berücksichtigen. So können wir z. B. ohne weitereserreichen, daß in W x die Vektorkomponenten analytische Funktionen derKoordinaten sind. Diese Bemerkung kann mitunter nützlich sein, da esoft angenehm ist, Vektorfelder betrachten zu können, die sich in der Um-gebung ihrer Singularitäten möglichst unkompliziert verhalten 12 ).

5. Wir verallgemeinern Aufgabe 4 weiter:

M n sei eine w-dimensionale (n 2), von r (n — 1 )-dimensionalengeschlossenen Mannigfaltigkeiten M* -1 , ..., iW" -1 berandete Teilmannig-faltigkeit des w- dimension alen euklidischen Raumes, P 1 ,...,P k seienPunkte im Innern von M n , a 1 , a k ganze Zahlen. Auf den M^~ x sindstetige, nirgends verschwindende Vektorverteilungen 33 e definiert ; b 1 , ..., b rseien die Grade der durch sie vermittelten Abbildungen auf die Richtungs-kugel, wobei die Indikatrizen der M * ~ 1 als ,, Ran diridikatrizen " von M"

Je r

bestimmt sind, und es sei Yj a y . == b a . Man soll in M n eine stetige

V. — Í 1

Vektorverteilung $8 mit den Randwerten konstruieren, die in den P„,und nur dort, verschwindet, und zwar von den Ordnungen a y ..

Man nehme eine simpliziale Zerlegung von M n in Simplexe T' 1 vor,definiere in den nicht auf den liegenden Eckpunkten dieser Zer-

legungen willkürliche Vektoren und versehe durch sukzessives Lösen vonAufgaben des Typus 2 alle (n — l)-dimensionalen Seiten der Simplexestetig mit nicht verschwindenden Vektoren, die auf dem M,] 1 1 mit denender übereinstimmen. Dann wähle man im Innern jedes Simplexes Tieinen Punkt G>. und definiere in T> n ein in C>. und nur dort verschwin-dendes Vektorfeld nach dem in Aufgabe 4 bei der Behandlung der Quader W xangewandten Verfahren. Nun konstruiere man ein ganz im Innern von M nliegendes, die endlich vielen Punkte C>. und P„_ im Innern enthaltendes

12 ) Siehe z. B. § 4 der nachstehenden Arbeit: Vektorfelder in n-dimensionalenMannigfaltigkeiten.