Abbildungsklassen n -dimensionaler Mannigfaltigkeiten. 223

Element E n (etwa als Umgebungsmenge eines alle P y . und C;. verbindendenStreckenzuges; vgl. § 2). c sei der Grad der durch die bisher angebrachtenVektoren vermittelten Abbildung des Randes (£ n_1 von E n auf die Rich-tungskugel, falls man die Indikatrix von @" -1 als Randindikatrix von E nbestimmt; er sei also — c, falls man diese Indikatrix als Randindikatrixder Mannigfaltigkeit M " bestimmt, welche aus M n durch Portlassen desInnern von E n entsteht; dann ist, da das Vektorfeld in M" keine Null-

r r Je

stelle hat, £ b e — c = 0, c = 2Jb l? = a y .. Daher kann man Aufgabe 4

q =1 £>=1 y.= l

für E n so lösen, daß man die bisher im Innern von E" angebrachtenVektoren durch solche mit den vorgeschriebenen Nullstellen und den bereitsvorhandenen Randvektoren ersetzt, womit Aufgabe 5 gelöst ist.

§6.

Vereinfachter Beweis des Satzes aus § 3 für gewisse Spezialfälle.

Mit Hilfe der bei Behandlung der Randwertaufgaben im vorigen Para-graphen angewandten Methoden kann man den in den §§ 1 und 2 vor-bereiteten, in § 3 zu Ende geführten Beweis des Satzes, daß zwei Ab-bildungen der n - dimensionalen geschlossenen Mannigfaltigkeit ¡i auf dieKugel S n sich stetig ineinander überführen lassen, wenn ihre Grade überein-stimmen, durch Zurückführung auf einen leichter zu beweisenden Spezial-fall elementarer gestalten, falls man die Gesamtheit der betrachtetenMannigfaltigkeiten ¡u einschränkt. Die Einschränkung, der /x unterworfenwerden muß, besteht darin, daß sich ¡x durch eine Jordansche, überallstetig differenzierbare Hyperfläche im (n l)-dimensionaIen euklidischenRaum repräsentieren läßt, — eine Einschränkung, durch die, wie ichfrüher gezeigt habe 13 ), gewisse Mannigfaltigkeiten von der Betrachtungausgeschlossen werden.

Die Vereinfachung des Beweises besteht, wie man sehen wird, darin,daß 1. die in § 2 vorgenommene Konzentration der Übereinstimmungs-punkte zweier Abbildungen, und 2. die Verwendung der FormelJ 12 = ( — 1)"^ -f- g„ in § 3 fortfällt. Da fast alle Schritte des vereinfachtenBeweises im Vorstehenden schon vorgekommen sind, sei eine kurze Dar-stellung unter Berufung auf früher ausführlich behandelte Schlüsse gestattet:/u. lasse sich in der oben genannten Weise durch die Hyperfläche n xrepräsentieren. Es soll zunächst gezeigt werden, daß der Beweis geführtist, falls man Aufgabe 1 (§ 5) lösen kann. ju 2 sei eine Parallelflächevon /ij, die durch Abtragen einer hinreichend kleinen Strecke a auf deninneren Normalen von /n l entsteht, M n+1 die von 1 a 1 und begrenzte

13 ) §§ 4, 5 der unter 5 ) zitierten Arbeit.