224 H. Hopf. Abbildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten.

Mannigfaltigkeit. Sind f x , f 2 zwei Abbildungen des Grades g von ju aufS n , so bringe man auf : u y , /.i a die stetigen, nirgends verschwindenden, dieAbbildungen f 1 , /„ von u t , ¡u„ auf die Richtungskugel vermittelnden Vektor-felder SSj, 95 2 an. Die Grade dieser Abbildungen sind, wenn man ¡u 1 undals Berandungen von M n+l orientiert, g und — g. Wenn Aufgabe 1lösbar ist, läßt sich daher, wie die Behandlung von Aufgabe 5 (übrigensohne Behandlung von 4) zeigt, in M n+1 ein stetiges, nirgends verschwin-dendes Vektorfeld 33 mit den Randfeldern 33 1 , S5 2 definieren. Bezeichnetnun P f den im Abstand t von dem Punkt P von auf der innerenNormalen dieses Punktes liegenden Punkt, und ti(P t ) den zugehörigenVektor von S3, so wird durch ü (P, t) = b (P t ), während t von 0 bis aläuft, 9^ in SS,,, also f x in f„ stetig übergeführt.

Damit ist der Beweis von Satz II für die jetzt betrachteten ( azurückgeführt auf die Lösbarkeit von Aufgabe 1, also auf denjenigenseiner Spezialfälle, in dem die abgebildete Mannigfaltigkeit selbst dieKugel, der den beiden Abbildungen gemeinsame Grad 0 ist. Beweisenwir Satz II nun für Abbildungen des Grades 0 beliebiger Mannigfaltig-keiten, so haben wir ihn für eine Gesamtheit von Sonderfällen bewiesen,in denen der am Anfang dieses Paragraphen genannte, auf Beschränkungauf gewisse jli beruhende, enthalten ist.

f sei also eine Abbildung des Grades 0 der Mannigfaltigkeit aufdie Kugel S". Wir zeigen, daß man f stetig in eine Abbildung auf eineneinzigen Punkt A überführen kann, indem wir diese Behauptung für dieDimensionenzahl n — 1 als bewiesen annehmen : Wir führen f stetig ineine simpliziale Approximation f' über; bei ihr seien C 1 , .. ., G m die Punktevon u, deren Bild der Diametralpunkt A von A ist. Wir umgeben nun dieCj , ..., C m mit einem Element E, dessen Bild f'(E) einen Punkt R von S nnicht bedeckt, vollziehen die stereographische Projektion p von R aus auf T R(vgl. §§ 2, 3) und ordnen jedem Punkt P von E den Vektor mit dem Anfangs-punkt f{Ä), mit dem Endpunkt pf'(P) zu. Aus der Definition des Abbil-dungsgrades — ohne Benutzung der früher an der analogen Stelle benutztenFormel =(— 1)" g r + g„ — folgt, daß die durch diese Vektoren vermittelteAbbildung des Randes von E auf die Richtungskugel von T R den Grad 0hat; auf Grund von Hilfssatz II kann man daher (vgl. § 3), da der zu be-weisende Satz für n — 1 gelten soll, f' stetig in eine Abbildung f" ab-ändern, bei der Ä nicht Bildpunkt ist, und f" läßt sich nun (s. § 2, letzterAbsatz) stetig in die Abbildung auf den zu Ä diametralen Punkt Aüberführen.

(Eingegangen am 11. 8. 1925.)