Vektorfelder in ti- dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

Von

Heinz Hopf in Berlin.

Poincaré hat bewiesen, daß es im allgemeinen nicht möglich ist, injedem Punkt einer stetig differenzierbaren, geschlossenen, unberandetenFläche vom Geschlecht p einen Tangentialvektor derart anzubringen, daßdas so entstehende Vektorfeld überall stetig ist; er hat gezeigt, daß dieSumme der „Indizes" der dabei auftretenden Singularitäten den Wert2 — 2 p hat, woraus folgt, daß für p =(= 1 immer Unstetigkeitsstellen vor-handen sein müssen 1 ). Brouwer hat diesen Satz auf die n - dimensionalenKugeln ausgedehnt: auch hier ist die Summe der Indizes der Singulari-täten unabhängig von der speziellen Wahl des Vektorfeldes; sie ist 2 fürdie Kugeln gerader, 0 für die Kugeln ungerader Dimensionenzahl 2 ). DieseTatsachen lassen sich auch aus einem ungefähr gleichzeitig mit der be-treffenden Brouwerschen Arbeit von Hadamard ohne Beweis veröffent-lichten allgemeineren Satze folgern, welcher besagt, daß für jede im (n -f- k)-dimensionalen ( & 1 ) euklidischen Raum liegende ji-dimensionale, ge-schlossene, unberandete Mannigfaltigkeit die Summe der Indizes der Sin-gularitäten eines tangentialen Vektorfeldes eine topologische Invarianteder Mannigfaltigkeit sei, so daß z. B. zur Bestimmung der von Brouwerfür die Kugeln angegebenen Zahlen die Betrachtung spezieller Vektor-felder genügt 3 ). (Wie mir Herr Brouwer mitteilt, sind übrigens die

1 ) Sur les courbes définies par les équations différentielles, 3. partie, chap. 13,Journ. de Math. (4) 1 (1885).

2 ) Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71 (datiert vom Juli 1910).

3 ) Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker in Tannery, Intro-duction à la théorie des fonctions d'une variable II, 2. éd. (1910), Nr. 42. — Es wirddort auf Arbeiten von Poincaré, Dyck, Brouwer verwiesen; in den in Frage kommen-den Abhandlungen dieser drei Autoren behandeln Poincaré und Brouwer die im Textgenannten speziellen Fälle, während Dyck zwar verwandte Sätze, aber nicht den beiHadamard formulierten Satz beweist.