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H. Hopf.

Brouwersche und die Hadamardsche Arbeit teilweise unter Gedankenaus-tausch zwischen den beiden Verfassern entstanden.)

Gelegentlich der Untersuchung der Curvatura integra geschlossenerHyperflächen gelangte ich zu einem Beweis des von Hadamard ausge-sprochenen Satzes für den Fall, daß ¿ = 1 ist 4 ); da jedoch, wie sich gleich-zeitig herausstellte, nicht jede n-dimensionale geschlossene Mannigfaltig-keit regulär in den (n + l)-dimensionalen euklidischen Baum eingebettetwerden kann, so handelte es sich dabei nur um einen Spezialfall der frag-lichen Behauptung.

In der vorliegenden Arbeit wird sie nun vollständig bewiesen. DerSatz wird dabei in zwei Richtungen verschärft : die eine, unwesentliche,Verschärfung besteht darin, daß man sich von der Einbettung derMannigfaltigkeit in einen Raum höherer Dimensionenzahl überhaupt freimacht, was bei geeigneter Definition der Vektorfelder, insbesondere beider Deutung des Vektorfeldes als einer „kleinen Transformation", leichtgeschieht; zweitens aber wird die als Summe der Indizes auftretende topo-logische Invariante wirklich angegeben: sie ist gleich der Euler sehenCharakteristik der Mannigfaltigkeit, was nach ihrer in speziellen Fällenbereits vorliegenden Bestimmung zu erwarten war. SingularitätenfreieVektorfelder sind in einer Mannigfaltigkeit mithin nur möglich, wenn dieCharakteristik 0 ist. Die Frage liegt nahe, ob umgekehrt, im Falle ver-schwindender Charakteristik, also z. B. im Fall einer geschlossenen un-berandeten Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl 5 ), sich immer einsingularitätenfreies Vektorfeld konstruieren läßt. Diese Frage wird bejaht,indem die gewünschte Konstruktion auf die Lösung gewisser „Randwert-aufgaben für Vektorverteilungen" zurückgeführt wird, die ich in anderemZusammenhang behandelt habe 6 ). Eine der Folgerungen aus diesen Tat-sachen ist der Satz : „Eine Mannigfaltigkeit gestattet dann und nur dannbeliebig kleine fixpunktfreie Transformationen in sich, wenn ihre Charak-teristik den Wert 0 hat." Insbesondere läßt also jede unberandete ge-schlossene Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl derartige Trans-formationen zu, während dies bei Mannigfaltigkeiten gerader Dimensionen-zahl im allgemeinen nicht der Fall ist.

Ein verhältnismäßig breiter Raum (§§ 1, 2) mußte für die Diskussionvon — größtenteils bekannten — Begriffen und Tatsachen verwendetwerden, welche Komplexe, Mannigfaltigkeiten und deren Darstellung

4 ) Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen, Math. Ann. !)5

(1925).

6 ) S. z. B. H. Tietze, Uber die topologischen Invarianten mehrdimensionalerMannigfaltigkeiten, Wiener Monatshefte für Math. u. Phys. 19 (1908), § 8.

e ) Abbildungsklassen n - dimensionaler Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 96.