Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 227

betreffen. Der Zusammenhang zwischen der Indexsumme der Singularitäteneines Vektorfeldes und der Eulerschen Charakteristik wird im wesentlichenin § 3 behandelt; dies geschieht durch Schluß von n — 1 auf n Dimen-sionen; dabei ist das (n — 1)-dimensionale Gebilde, auf das man im Ver-lauf des für n- dimensionale Mannigfaltigkeiten zu führenden Beweiseszurückzugehen hat, keine Mannigfaltigkeit mehr, sondern ein „Komplex",der Randkomplex der Mannigfaltigkeit. Dieser Umstand macht es not-wendig, da man in Komplexen nicht ohne weiteres von Stetigkeit einerVektorverteilung reden kann, einen neuen Begriff einzuführen, den des„komplexstetigen Vektorfeldes". In § 4 wird eine den Beweis des § 3 ver-vollständigende Hilfskonstruktion nachgetragen, und in § 5 wird dem Satzseine endgültige Formulierung gegeben; er wird in der oben erwähntenWeise als Fixpunktsatz für kleine Transformationen aufgefaßt und aufGrund der Lösbarkeit der „Randwertaufgaben" in der ebenfalls schon an-gedeuteten Weise umgekehrt; ferner wird gezeigt, daß die Zahlen, die alsdie „Totalkrümmungen" geschlossener Hyperfläclien 1 ) auftreten, in vielenFällen als Eulersche Charakteristiken gedeutet werden können.

§ I-

Komplexe und ihre Darstellungen.

1. Im n - dimensionalen gewöhnlichen Raum seien ß " SimplexeT\ [V" = 1, ..., ß n ] gegeben; ihre k -dimensionalen [0 ^ k < n] Rand-simplexe seien mit T% [v h = 1, ..., ß k ] bezeichnet. Die T ™n bilden eine„Komplexdarstellung"®", wenn zwischen den Punkten gewisser T", , die,„miteinander verbunden" genannt werden, Zuordnungen folgender Artbestehen :

T{\ T£ seien miteinander verbunden; dann gibt es zwei zu T¡\ T."gehörige Simplexe T\, T« [0 k <[ «], deren Punkte eineindeutig und stetigso aufeinander bezogen sind, daß jedem Tf [0 von T* ein T%

von T\ entspricht, während zwei nicht zu T\, T* gehörige Punkte A 1 , A<¡von T", T? nicht einander zugeordnet sind. Diese Zuordnung ist transitiv,d. h. : sind einerseits A 1 , A„ , andererseits A,,, A s einander zugeordnetePunkte von T", T" bzw. T?, T", so sind auch A i , A :t einander zugeordnet.

Infolge der Transitivität können wir für jedes p [0 ^p^n] dieß v Simplexe derart in a p Gruppen gf T [A p =1, ..., <x v ; 1 <Lu p ^ ß v ]einteilen, daß die einer g v angehörigen T v einander zugeordnet sind, und ana-log lassen sich die Punkte A in Gruppen a zusammenfassen. Wir nennen dieGruppen a die „Punkte", die Gruppen gj v die „Simplexe" des „durch

dargestellen Komplexes C n ", und sagen, daß zwei zu derselben Gruppegehörige Punkte bzw. Simplexe von „identisch in C n " sind.