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H. Hopf.

2. Ist in zwei Komplexdarstellungen 2)", S" für jedes k: ß* = ß*,und unterscheiden sie sich nicht hinsichtlich der Gruppierungen gf k ihrerSimplexe, sondern nur hinsichtlich der Punktzuordnungen innerhalb derSimplexe T* k , so nennen wir sie „isomorph"; zwei durch isomorphe® ", ® 2 " dargestellte Komplexe C", C" lassen sich eineindeutig und stetigso aufeinander abbilden, daß dimensional e Simplexe einander so ent-sprechen, wie es durch den Isomorphismus vorgeschrieben ist 7 ), und wirbetrachten sie als nicht voneinander verschieden.

Zu jeder Darstellung ®" gibt es eine ihr isomorphe „affine" Dar-stellung 91", d. h. eine solche, in der die Abbildungen von je zwei ein-ander zugeordneten Simplexen aufeinander affin sind; um eine solche Dar-stellung zu erhalten, hat man nur mit je zwei Simplexen Tdiejenigeaffine Abbildung aufeinander vorzunehmen, die durch die vermöge SE"vorgeschriebene Zuordnung ihrer Ecken eindeutig bestimmt ist.

Eine Darstellung heißt „reduziert", wenn in ihr a n = ß n ist,d. h. wenn Zuordnungen nur für Randpunkte, nicht für innere Punkte derT" n vorgenommen sind. Man kann jede Darstellung durch Fortlassunggewisser T" n „reduzieren", und wir betrachten den durch die reduzierteDarstellung repräsentierten Komplex als nicht verschieden von demursprünglichen. Im allgemeinen haben wir im folgenden reduzierte affineKomplexdarstellungen im Auge.

3. Die (n — l)-dimensionalen Randsimplexe von®" bilden beiAufrechterhaltung der durch ®" vorgeschriebenen Zuordnungen eine(n — l)-dimensionale Komplexdarstellung ®"~ l . Ist 5£>" affin, so ist auch® n_1 affin, jedoch ist ®" -1 im allgemeinen auch bei reduziertem ®"nicht reduziert. Den durch ® n_1 dargestellten Komplex G n ~ x nennen wil-den „Randkomplex" von C n .

4. Zerlegt man jedes T" n von ®" derart in endlich viele Teil-simplexe, daß die so entstandenen Zerlegungen verschiedener T * [1 <lJc<Ln],sofern diese einander zugeordnet sind, miteinander „identisch in C""sind, so entsteht damit „durch Unterteilung" von SD" bzw. C n eine Dar-stellung ® " eines Komplexes C". G" und C" haben bekanntlich dieselbe„Eulersche Charakteristik"; diese ist in der obigen Bezeichnung für G n

definiert als (—1)'' a k . Durch die mit den T n n vorgenommene Zer-

fc=0 r

legung entsteht gleichzeitig durch Unterteilung von SD" -1 bzw. G n ~ 1 eineDarstellung SD" -1 des Randkomplexes C" -1 von C".

') H. Kneser, Die Topologie der Mannigfaltigkeiten (Anhang), Jahresbericht d.Deutsch. Math. Ver. 34, 1.—4. Heft (1925). — Es werden dort zwar nur Mannigfaltig-keiten betrachtet, doch bleibt die Argumentation unverändert für Komplexe gültig.