Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 229

31" sei eine affine Darstellung. Dann ist jede durch Unterteilungentstandene Darstellung 2Í" auch affin. Man kann mit einer vorgelegtenaffinen Darstellung 21" folgendermaßen eine beliebig dichte Unterteilungvornehmen: ra sei eine beliebig große ganze Zahl; man teile jede KanteT 1 j in ra gleiche Teile und lege durch jeden Teilpunkt A die parallelenebenen Räume zu denjenigen T" -1 , die demselben T n angehören wie A,ohne A zu enthalten. Auf diese Weise wird jedes T l in endlich vielebehebig kleine konvexe Polyeder P h zerlegt, und diese Zerlegungen sindin einander zugeordneten T k „identisch in C"". Die P h zerlegt man nunweiter in Simplexe, und zwar wieder unter Beachtung der vorhan-denen Zuordnungen, so daß eine Unterteilung von C" entsteht 8 ). —Dabei ist für eine spätere Anwendung folgende Bemerkung wichtig:Bezeichnen wir zwei Polyeder als nach „Gestalt und Lage" nicht von-einander verschieden, wenn sie durch Dehnung und Translation — also ineinem ..., x n ) - Koordinatensystem durch eine Transformation x'. = cx v_|- a v [v = l, n] — ineinander übergeführt werden können, so kommenfür die P n , unabhängig von der Zald ra, nach Gestalt und Lage nur end-lich viele Polyeder in Betracht. In der Tat: führen wir z. B. in T",dessen Seiten T 1 " -1 , ..., T„+1 seien, derart ein affines Koordinatensystemein, daß die der Seite T"+i gegenüberliegende Ecke der Nullpunkt,die von ihm ausgehenden Kanten die Achsen, die übrigen n Ecken dieEinheitspunkte auf den Achsen sind, so ist ein zu T" gehöriges P" einTeil eines „Parallelepipedons" 77, dessen Kanten den Einheitsstrecken desKoordinatensystems parallel und proportional — nämlich von der Länge — —sind, also eines nach Gestalt und Lage von ra unabhängigen Gebildes;und zwar ist P" eines der Stücke von 77, die man erhält, wenn mandurch jede Ecke von 77 den zu T„+x parallelen ebenen Raum legt, diealso ebenfalls nach Gestalt und Lage von vornherein bestimmt sind. Nunläßt sich auch die Zerlegung dieser P n in Simplexe nach Gestalt undLage von vornherein vorschreiben 0 ). — Diese Überlegung gilt für jedeseinzelne T™ n ; damit ist gezeigt, daß man durch eine beliebig dichteUnterteilung (d. h. eine Unterteilung mit beliebig großem ra) von % n eineDarstellung 21" herstellen kann, deren Simplexe von vornherein in bezugauf Gestalt und Lage auf endlich viele vorgegebene, allein durch 21" be-stimmte mögliche Fälle beschränkt sind.

5. Es sei 7 1 " ein Simplex von T"~ k [& 1 ] ein Randsimplexvon 7". r p"~ k gehört k Simplexen T" _1 [* = 1, ..., &] an; der T" k

8 ) Hadamard, a. a. 0. Nr. 10, Fußnote 2).

9 ) Man verbinde den Schwerpunkt jedes P k [2 < k < n] mit jeder Ecke von f*und mi t, dem Schwerpunkt jedes P'[2^¿<&], das dem Rand von P k angehört.