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H. Hopf.

enthaltende ebene (n — yfc)-dimensionale Raum E n ~ k ist der Durchschnittder k {n — 1 )- dimension alen ebenen Räume E"~', welche die ent-

halten. Jeder E" 1 zerlegt den «,-dimensionalen Raum in zwei Teile;denjenigen, der T" enthält, nennen wir die „positive Seite" von P" -1 . DenDurchschnitt der positiven Seiten der P" _1 [x = l,...,&] nennen wirdas „Innere" des durch die P" _l gebildeten „¿-fachen Winkels W%dessen Scheitel E n ~ k ist; das Innere mit Einschluß des Randes ist der„abgeschlossene Winkelraum" IF". (Unter einem ist demnach diedurch einen E n ~ 1 bestimmte positive Hälfte des Raumes zu verstehen.)Jeder wird begrenzt durch Je abgeschlossene Winkelräume W£li , dieder durch ®" definierten Darstellung ®" _1 des Randkomplexes C n ~ 1angehören.

6. 21" sei eine affine reduzierte Darstellung von C", 21 " _1 die zu-gehörige affine (nicht reduzierte) Darstellung des Randkomplexes C n ~ x ,2(" _1 eine reduzierte affine Darstellung von C" -1 in einem ebenen RaumJ" 1-1 . El 1 " 1 sei der das Randsimplex T^ 1 von 21" enthaltendeebene Raum, P, ein Punkt von P" -1 , lD t ein in P 1 angebrachter,in E"~ l liegender Halbstrahl. Sind Pf 1 ... P" -1 die mit P" _1 in C nidentischen Randsimplexe von 21", P 2 , ..., P r die Punkte in ihnen, die mitPj identisch sind, so sind vermöge der affinen Zuordnung zwischen dendie Tg' 1 [o = 1, ..., r] enthaltenden E£~ l Halbstrahlen iü,,, ..., tt> r defi-niert, die in den P s beginnen und in den E',¡~ x liegen. Diesen r in 2t" _1definierten Strahlen entspricht in 2Í" -1 vermöge der affinen und transi-tiven Zuordnung genau ein Strahl tu* von P" —1 , der in dem P 1 ent-sprechenden Punkt p des Simplexes t n ~ l von 2l" _1 angebracht ist, welchesdas Bild der P" -1 ist. Gehören P l und gleichzeitig mehreren (n— 1 )-dimensionalen Randsimplexen P" -1 von 2Ï" an, so entsprechen dem HalbstrahlltJj und den mit ihm in C" identischen Halbstrahlen tü„, ..., to m

von 21" mehrere Halbstrahlen von P" _1 , welche dann jedoch alle in Rand-räumen von 2l"~ liegen und vermöge der affinen und transitiven Beziehungzwischen den Randräumen von 2Í" - aufeinander abgebildet sind.

7. Es sei & 1, T' l ~ k ein Randsimplex von 2Í", P ein Punkt vonT n " k , E n 1 der T n k enthaltende ebene Raum, W£ der zu E n ~ k alsScheitel gehörige ¿-fache Winkel, u ein in P angebrachter, ins Innerevon W£ gerichteter Halbstrahl, ö der zu it diametrale Halbstrahl, e 2 einevon u und ü ausgespannte 2-dimensionale Halbebene, e 2 schneidet jedender k Randräume E" _1 [x — 1,..., k], die E n ~ k enthalten, in einem Halb-strahl tu*. Sind P" -1 die den P" -1 angehörigen Randsimplexe, so ent-spricht jedem P" -1 ein Simplex i" -1 von 2If~\ an jedem von diesengibt es ein t"~ k , welches das Bild von T n ~ k ist, zu jedem gehört