Vektorfelder in «-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

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ein Winkel (wj¡IÍ) x von 2Í" -1 ; in jedem t"~ k gibt es einen Bildpunktp x von P, und jedem lu* entspricht ein in p y _ angebrachter Strahl tu * vonF n ~ x . Wir betrachten die Eichtungen dieser lu* genauer; es sind zweiFälle zu unterscheiden:

I. (Hauptfall): e 2 habe mit je 2 der Í7" -1 nur den Punkt P ge-meinsam; dann gehört jeder der Strahlen tu* nur einem 1 an; kein10* ist daher in einem (n — 2)- dimensional en Randraum von Slf -1 gelegen.Dreht man u in e 2 bis in die Lage ü, so sei tu x der erste Schnitt miteinem El! -1 ; dann ist tü T der einzige lt )*, der dem Rande von W£ an-gehört, da alle andern tu* ins Äußere von W¡¿ zeigen. Daher zeigt lu* insInnere von (w"-i )i, während alle anderen tu* ins Äußere ihrer ge-richtet sind.

II. (Grenzfall): e 2 habe mit mehreren der 2?" _1 gleichzeitig außerP noch einen Punkt, also einen Halbstrahl gemeinsam; dann sindnicht alle tu* voneinander verschieden. Die k Halbstrahlen w x lassen sichin i Gruppen {i < k) derart zusammenfassen, daß die Strahlen einerGruppe in einen Strahl tu,' [j — 1, ..¿] zusammenfallen. Für die tu/ bleibendie in Fall I für die tu i festgestellten Tatsachen richtig. Ist luí der ersteSchnitt des gedrehten Strahls u mit einem E™~ 1 und ist luí nur mit einemeinzigen tu* identisch, so bleibt das Resultat der Überlegung von Fall Iunverändert bestehen, daß von den tu* [x = l, ...,&] genau einer, näm-lich tu*, ins Innere seines (Wk-i)i zeigt, alle anderen lu* ins Äußereihrer (w^-i) gerichtet sind. Ist dagegen lui mit mehreren tu* identisch,so ist diese Tatsache dahin zu modifizieren, daß gewisse tu*, etwatu*, ..., tu,* (nämlich diejenigen, die to{ entsprechen), den Rändern ihrer(Wk~i)* angehören, und zwar so, daß sie vermöge der in SC" 1 definiertenaffinen transitiven Zuordnungen aufeinander abgebildet sind, während alleanderen tu* \x = m-\- 1, ..., &] ins Äußere ihrer 1 )* weisen.

Bevor wir die hiermit festgestellten Tatsachen verwerten, haben wirnoch spezielle Komplexe zu betrachten.

§2.

Mannigfaltigkeiten und ihre Darstellungen.

1. Ein Eckpunkt T y °o einer reduzierten Darstellung von C n heißt ein„regulärer Eckpunkt", wenn die T* ; [k = 1, ..., »], die ihn sowie diemit ihm in C n identischen Punkte enthalten, einander zugeordnet sindwie zusammenfallende Simplexe und Randsimplexe der Simplexe einesgewissen Simplexsterns des n-dimensionalen kartesischen Raums. Dabeiverstehen wir unter einem Simplexstern ein aus endlich vielen Simplexenderart zusammengesetztes Element S n , daß alle Simplexe einen Eckpunkt