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H. Hopf.

A gemeinsam haben, während alle andern Eckpunkte auf einer Kugel umA liegen 10 ); T,'o heißt „innerer" oder „Randeckpunkt", je nachdem A imInnern oder auf dem Rande von S n liegt.

Ein Komplex, der nur reguläre Eckpunkte — innere oder Rand-punkte — besitzt und außerdem „zusammenhängend" ist, d. h. in demman von jedem T" zu jedem andern T"' durch eine Kette von T n ge-langen kann, in welcher jedes T n mit dem folgenden verbunden ist, heißteine (geschlossene) „Mannigfaltigkeit" M n . Hat M n nur innere Eckpunkte,so heißt sie „unberandet" "); hat M n auch Randeckpunkte, so bilden alle„Randpunkte" eine endliche Anzahl geschlossener unberandeter (n — 1 )-dimensionaler Mannigfaltigkeiten 12 ); dabei heißt ein Punkt ein Randpunktvon M n , wenn er einem solchen Randsimplex angehört, dem bei jederZuordnung zu den Simplexen eines Simplexsterns S n ein aus Randpunktenvon S n gebildetes Simplex entspricht.

Ein Komplex, dessen Darstellung durch Unterteilung einer Dar-stellung einer Mannigfaltigkeit M n entsteht, ist, wie aus der Definitionfolgt, selbst eine Mannigfaltigkeit. Diese gilt für uns als nicht verschiedenvon M n .

2. Wir betrachten die gleichzeitige Abbildung mehrerer in M n mit-einander verbundener Simplexe einer Darstellung auf Teile eines Elementsim kartesischen Raum: Seien zunächst T\ die Simplexe einer affinen Dar-stellung 21" von M n , To eine Ecke, So der zugehörige Simplexstern; dannläßt sich die zwischen den k- dimensionalen Simplexen (0 ^k^n)von So einerseits und den Simplexen T* k andererseits bestehende Zuord-nung, soweit diese definiert ist, zu einer Abbildung verschärfen, indemman zwischen jedem Simplex Z\ von So und dem ihm zugeordneten T\die durch die Zuordnung der Ecken von Z* zu denen von T*u eindeutigdefinierte affine Abbildung ausführt; auf diese Weise wird So auf den-jenigen Teil 20 von M" eineindeutig und stetig abgebildet, der in 51"durch alle den Eckpunkt To oder einen mit ihm in M n identischen Eck-punkt T{ enthaltende Simplexe T¡ 1 dargestellt wird.

3. Der so auf ein Stück des kartesischen Raums abgebildete Teilvon M n umfaßt alle Simplexe, welche in M n die Umgebung eines Punktes,nämlich des durch To repräsentierten, bilden ; wir suchen mm eine analoge

10 ) Diese Definition des Simplexsterns weicht unwesentlich ab von der vonBrouwer in der unter 2 ) zitierten Arbeit gegebenen.

11 ) Dann hat M" offenbar überhaupt nur „innere" Punkte im gewöhnlichenSinne; vgl. dazu den unter ') zitierten Bericht von H. Kneser.

la ) Hadamard, a. a. 0. Nr. 16.