Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

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Abbildung der ganzen Umgebung eines Simplexes einer Darstellung vonM 1l \ wir definieren:

Eine affine Darstellung SIf von M n heißt eine „Umgebungsdarstellung",wenn sich zu jedem ihrer Simplexe TÔ ein Element Eô des gewöhnlichenRaumes mit folgender Eigenschaft angeben läßt: Ist Q q die „Simplex-umgebung von Tô u , d. h. der durch die mit To verbundenen SimplexeT" in dargestellte Teil von M n , so läßt sich Eo in

m + 1 Simplexe z" t - [i = 0, 1, ..m] zerlegen und eineindeutig und stetigso auf Ü q abbilden, daß dabei z™, ¿ au ^ T* [¿ = 0, 1, .. m] affin be-zogen ist 13 ).

Wir zeigen, daß man von jeder M n eine Umgebungsdarstellung herstellenkann: 2Ï" sei die oben besprochene affine Darstellung, in bezug auf die mandie für ein einzelnes v° geschilderte Abbildung der S"o und 2™ [v° = 1 , ..., /5°]vorgenommen hat. Wir stellen durch Unterteilung eine Darstel-lung von M 11 her, indem wir jede eindimensionale Kante T v i in n -f- 1gleiche Teile teilen, durch die Teilpunkte die zu den Seiten Ï 1 "»-! parallelenebenen (n — 1 )-dimensionalen Räume legen und die so entstehenden kon-vexen Polyeder in Simplexe zerlegen. Ist ein Simplex der Darstellungund etwa T" das Simplex von 91 ", dem i" angehört, so gibt es eine(n — 1 )-dimensionale Seite von T¿\ mit der t' 0 l keinen Punkt gemeinsamhat; in der Tat, führen wir (wie in §1,4) ein affines Koordinatensystem, ..., £ n in T q ein, dessen Nullpunkt die Ecke von T„ ist, in welchersich die Seiten 7 1 ™ -1 , ..., 7 1 ,' 1-1 schneiden, dessen Achsen die vom Null-punkt ausgehenden Kanten, dessen Einheitspunkte auf den Achsen dieübrigen Ecken von To sind, so genügen die Koordinaten jedes Punkteseines Simplexes der Darstellung Sif, welches mit jeder der SeitenT" _1 , ..., Tn' 1 einen Punkt gemein hat, den Ungleichungen

n];

n

dieses Simplex besitzt daher auf der letzten durch die Gleichung £ = 1

¿=i

definierten Seite Tn+i von To keinen Punkt. — Also gibt es zu tô eineSeite von T", z. B. T q " -1 , mit der tô keinen Punkt gemeinsam hat. Istnun T q der T™~ 1 gegenüberliegende Eckpunkt von T", SÔ der zu To ge-hörige Simplexstern, so ist die oben besprochene eineindeutige stetige undstückweise affine Beziehung zwischen SÔ und den Simplexen von 21", dieeinen mit To in M n identischen Eckpunkt enthalten, in tô sowie in jedem

13 ) Allgemein bezeichnet also z™ in dem die Simplexumgebung von T" dar-stellenden Element E " dasjenige Teilsimplex, welches das Bild von T" ist.Mathematische Annalen. 96. 16