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H. Hopf.

mit ¿o verbundenen Simplex von 2Í", also in der „Simplexumgebung"Í2" von to erklärt, d. h. : 21" ist eine Umgebungsdarstellung.

Wir können nun zur Darstellung von M n an Stelle der t"„ direkt dieoben definierten Simplexe ,, benutzen, und erhalten so, wenn wir,um zu unserer früheren Bezeichnungsweise zurückzukehren, von vornhereinz™n\ fi n = T f % setzen, eine Umgebungsdarstellung, die folgendermaßen aussieht:An jedes Simplex T^n li ) sind an denjenigen Randsimplexen, die keineRandpunkte von M n repräsentieren, Simplexe z\ ■ [¿=1, . •angebracht, die zusammen mit T*n ein Element E"„ , das eineindeutige Bildder Simplexumgebung ß"n von T"n in M n , bilden; dabei sind je zweiSimplexe z"„ z \ „,,, die zu zwei verschiedenen Elementen 2£"„, E"„ se-

r f* x » r t l 2 ' t "i 2

hören und denen dasselbe durch T*„ = 2 repräsentierte Stück vonM n entspricht, durch Vermittelung von M n affin aufeinander abge-bildet.

4. Diese „ausgezeichnete Umgebungsdarstellung" von M n , die wirwieder mit 21" bezeichnen wollen, ist geeignet zur Untersuchung gewisserTransformationen von M n :

Eine eindeutige stetige Abbildung von M n auf sich oder einen Teilvon sich heiße in bezug auf 21" eine „Umgebungstransformation" vonM n , wenn jeder durch einen Punkt eines Tâ„ repräsentierte Punkt von M nin einen Punkt der Simplexumgebung Q^n von T",, übergeht.

Z. B. sind die Transformationen f i einer in ganz M" gleichmäßiggegen die Identität konvergierenden Transformationsfolge f x , / 2 . ... inbezug auf jede beliebige ausgezeichnete Umgebungsdarstellung 21" von einemgewissen, von 21" abhängigen Index an Umgebungstransformationen; diesdrücken wir gelegentlich so aus, daß wir sagen, eine „beliebig kleineTransformation" von M" ist eine Umgebungstransformation in bezug aufjede ausgezeichnete Normaldarstellung.

Ist f in bezug auf 21" eine Umgebungstransformation, so ist durchs ie in eindeutiger Weise eine eindeutige und stetige Abbildung f fl n jedesSimplexes T"n auf eine dem Element E™ n angehörige Punktmenge de-finiert. Wir nehmen an, daß f höchstens endlich viele Fixpunkte hat unddaß diese nur inneren Punkten der T"„ entsprechen. Bringen wir nun injedem Punkt P von T"n den nach dem Punkt f ft n (P) weisenden Vektor ti (P)an, so ist dieses Vektorfeld SS in einem gewissen Sinne, von den Fix-

14 ) ¡i" bezeichnet also jetzt, ebenso wie im § 1 v", einen von 1 bis a" laufendenIndex.