Vektorfelder in M-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

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punkten abgesehen 15 ), in ganz M n eindeutig und stetig. Es hat, unterBenutzung der Bezeichnungen des §1, u.a. folgende Eigenschaften:

A. In jedem einzelnen T f % [fi n = 1 , ..ß n ] ist 33 eindeutig und stetig,abgesehen höchstens von endlich vielen im Innern gelegenen Punkten.

B. P 0 sei ein Randpunkt von 7 0 " und gehöre einem Randsimplex T*~ k[1 ^Jc n\ an; T"~ k [g = 1,..r] seien die mit T£~ k identischenRandsimplexe anderer T" n , P die mit P Q identischen Punkte derT"~ k , {W") s [g = 0, 1 die ¿-fachen Winkel, deren Scheitel dieT, n ~ k sind. Dann tritt stets einer von folgenden beiden Fällen ein:

I. (Hauptfall): Von den r + 1 Vektoren 0 (P ä ) weist genau einer insInnere seines {W™) n , während alle anderen ins Äußere ihrer (ge-richtet sind.

II. (Grenzfall) : Einige der b (P a ) gehören den Rändern ihrer (W") ean und sind vermöge der zwischen den Randräumen bestehenden affinenund transitiven Zuordnungen aufeinander abgebildet, während die übrigenÜ (PJ ins Äußere ihrer {W£) e zeigen.

Wie man erkennt, tritt Fall II dann und nur dann ein, wenn P 0und f 0 (P 0 ) demselben Randsimplex angehören.

§3.

Komplexstetige Vektorfelder.

Bei der am Schluß des vorigen Paragraphen gewählten Formulierungder Eigenschaften A und B des Vektorfeldes 33 ist kein Gebrauch von derTatsache gemacht, daß wir eine Umgebungsdarstellung einer Mannigfaltig-keit vor uns haben. Liegt eine reduzierte affine Darstellung 51" eines be-liebigen Komplexes G" vor, so wird keine der eben ausgesprochenenEigenschaften sinnlos, wenn wir M n durch C n ersetzen. Wir dürfen daherdefinieren:

Eine Zuordnung S3 von Vektoren D (P) zu den Punkten P der redu-zierten affinen Darstellung 21" des Komplexes C" heißt ein „in C n (inbezug auf 21") komplexstetiges Vektorfeld", wenn sie den Forderungen Aund B genügt. [Siehe den „Zusatz" am Schluß dieser Arbeit.]

1. Von den Eigenschaften komplexstetiger Vektorfelder, die uns imFolgenden beschäftigen werden, sei zunächst festgestellt: Ist 21" eine durchUnterteilung von 21" entstandene Komplexdarstellung, so ist 33 auchkomplexstetig in bezug auf 2Í", vorausgesetzt, daß kein singulärer Punkt

16 ) Von nun an kommt es uns, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes bemerktwird, stets nur auf die Stetigkeit der Richtungen, nicht der Längen der Vektorenan; Nullstellen des Vektorfeldes gelten daher als Singularitäten.

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