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H. Hopf.

von 35 auf einem Randsimplex der Darstellung 2t" liegt. Von der Richtig-keit dieser Behauptung überzeugt man sich durch die Feststellung, daß33 die Eigenschaft B nicht nur, wie vorausgesetzt, auf den Rändern derDarstellung 2Í", sondern auch auf den bei der Unterteilung neu ent-standenen Rändern hat, in denen SS stetig im gewöhnlichen Sinne ist.

2. Eine zweite wichtige Eigenschaft der komplexstetigen Vektorfelderbetrifft die „Projektion des komplexstetigen Vektorfeldes 33 auf den Rand-komplex". Darunter ist Folgendes zu verstehen: O", 3t", 33 haben die-selben Bedeutungen wie bisher, 2l" -1 sei die durch 9t" definierte nichtreduzierte Darstellung des Randkomplexes C" -1 , 2t" -1 sei eine reduzierteaffine Darstellung von C" -1 , Tyu [k = 0,...,n\ v k = 1 , ..ß"; ß n — cc n ]seien die Simplexe von 21", t** [&=0,. n — 1; X k y n ~ 1 = a n ~ 1 '\die Simplexe von 2Í"~ ■ Auf dem Rande jedes T , n n sei ein Feld U y n vonVektoren u (P) mit folgenden Eigenschaften gegeben:

a) u(P) ist ins Innere von T", gerichtet;

b) liegt P auf einem T n ~ 2 , so fallen die Richtungen u(P) und ü (P)nicht zusammen;

c) es gibt höchstens endlich viele Punkte P, in denen die Richtungenvon u(P) und ö(P) zusammenfallen.

Wir lassen es dabei im Augenblick dahingestellt, ob solche Vektor-felder U,.« stets existieren.

Auf jedem T n ~ 1 von T v " fassen wir nun nur die Punkte P insAuge , in denen ö (P) entweder nach der positiven Seite des T n ~ l ent-haltenden ebenen Raumes E n l gerichtet ist oder in E n ~ i liegt — indenen ö (P) also dem betreffenden „abgeschlossenen Winkelraum Wî "angehört —, und projizieren diese ü(P) von u(P) aus auf ¿7" -1 , d.h.wir stellen denjenigen Vektor ft) (P) her, in dem E n ~ x von der durchu(P), Ö(P) und dem zu li(P) diametralen Vektor fl(P) ausgespanntenHalbebene e 2 (P) geschnitten wird; dabei ist die Reihenfolge der genanntenVektoren in e 2 stets die folgende: it, ö, tu, ü. Diese Konstruktion wirdnur in denjenigen, höchstens in endlicher Anzahl vorhandenen, der be-trachteten Punkte P unmöglich, in denen u (P) und ö (P) zusammenfallen.Dem Vektor lu (P) entspricht nun entweder (s. § 1, 6) genau ein Vektortü* in St" -1 , oder es entsprechen ihm mehrere in Randräumen von 2ÍÍ 1-1liegende Vektoren lu*, die affin aufeinander abgebildet sind. Die Gesamt-heit SB* der so in 2tf~ 1 erzeugten Vektoren lü* nennen wir eine „Pro-jektion des Feldes 33" und behaupten, daß sie ein in G n ~ x komplexstetigesVektorfeld darstellt. In der Tat: daß 393* die Eigenschaft A der für diekomplexstetigen Vektorfelder charakteristischen Eigenschaften A und B