Vektorfelder in ra-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 237

besitzt, folgt aus der geschilderten Konstruktion von SB'" sowie der Tat-sache, daß die Forderung B von 33 insbesondere für k = 1 erfüllt wird ;und daß SB* die Eigenschaft B für jedes k* <^n — 1 besitzt, ergibt sichdaraus, daß 93 diese Eigenschaft für k — k* 1 besitzt, sowie aus demin § 1, 7 diskutierten Verhalten der projizierten Vektoren, wonach insbeson-dere tu * dann und nur dann seinem abgeschlossenen Winkelraum iv"Iiangehört, wenn lu der erste Schnitt des in e" gedrehten Vektors it mit einemRandraum E' 1 " 1 von W£ ist, wenn also b dem abgeschlossenen Winkel-raum IF/' 1 angehört.

3. Wir bringen nun die Indizes der Singularitäten von 93 in Beziehungzu den Indizes der Singularitäten von SB*. s v « sei die Summe der Indizes

a "

derjenigen Singularitäten von 3?, die in T"n liegen, und s" = s v n sei

v» = l

also die Indexsumme aller Singularitäten von 33; ferner sei s n_1 dieIndexsumme aller Singularitäten von SB*, a v n die Summe der Uberein-stimmungsindizes') der beiden Abbildungen des Randes von T\ auf dieRichtungskugel, die von U„n und dem zu 33 gehörigen Randfeld 3$,.» (in

cell

dieser Reihenfolge!) vermittelt werden, und a— ^ a v n die Summe

v n = 1

aller dieser Übereinstimmungsindizes. Nun läßt sich die Zahl aauf zweierlei Weise bestimmen: Dort und nur dort, wo U„« und 33*«Übereinstimmungsstellen haben, entsteht eine Singularität von SB*. DerIndex einer solchen Ubereinstimmung ist gleich dem Index der Singularitätdes Feldes der projizierten Vektoren tu, also auch gleich dem Index derSingularität von 3B*, vorausgesetzt, daß man den [n — l)-dimensionalenRandraum E n ~ x , dem der betrachtete Punkt angehört, so orientiert, daßein positiv orientiertes Achsensystem von E n ~ x zusammen mit einemVektor von 1X v n als letzter Achse ein negatives Achsensystem des n - di-mension alen Raumes bildet 18 ) ; in unserem Fall ist aber die Indikatrixvon E n ~ 1 als Randindikatrix von T' l n bestimmt, d. h. ein auf die ge-schilderte Weise gebildetes n- fâches Achsensystem ist positiv orientiert 2 ).Folglich ist der Ubereinstimmungsindex von U,.« und 33,.» entgegengesetztgleich dem Index der Singularität von SB * in dem entsprechenden Punkt,und es ist daher

(1) a — — s" -1 .

a n

Andererseits ist a=JJa,,n auf folgende zweite Weise zu bestimmen:

»n=i

a v n ist die Summe der Übereinstimmungsindizes der durch U,.» und 33,»

16 ) Beweis s. § 1 der unter 4 ) zitierten Arbeit.