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H. Hopf.

vermittelten Abbildungen des Kandes von T", auf die Richtungskugel.Die durch U V " vermittelte Abbildung hat den Grad (—1)", da alle Vek-toren u(P) ins Innere von T"n gerichtet sind, sich also stetig unter Fest-haltung ihrer Anfangspunkte in Vektoren überführen lassen, die nacheinem festen inneren Punkt zeigen. Die durch SS,,* vermittelte Abbildunghat den Grad s,.n. Daher gilt die Gleichung 4 )

(2) CL v n = ( — 1) •(— 1) -f- S v n = — 1 -f- Sylt ,

und hieraus folgt durch Summation als zweiter Wert für a

(3) a= £ a v n = -a n + s n .

r n=t

Vergleich der beiden Werte von a liefert:

/ j \ n n n—1

(4) S = CC — S

4. Wir beginnen nun den Beweis des folgenden Satzes:

Satz I. Die Indexsumme der Singularitäten eines in C" komplex-stetigen Vektorfeldes ist gleich der mit (—1)" multiplizierten EulerschenCharakteristik von C".

Wir führen den Beweis durch Schluß von n — 1 auf n .

Es sei zunächst n = 1, G n = C 1 also ein System von k 1 Strecken,deren Ecken in a° Gruppen zusammengefaßt sind; die einer Gruppe an-gehörigen Ecken sind identisch in C 1 und repräsentieren einen Punktdieses Komplexes. (Wir können uns diese Identifizierungen etwa im drei-dimensionalen Raum durch Zusammenheften ausgeführt denken.) Daskomplexstetige Vektorfeld besteht aus Vektoren, die in den Geraden,denen die Strecken angehören, liegen, und besitzt Singularitäten im Innernder Strecken mit der Indexsumme s 1 . Es weist in jedem der a° Punktedes Komplexes, welche durch die ß° Eckpunkte der Strecken repräsentiertwerden, genau einen ins Innere seiner Strecke gerichteten Vektor auf.Ist also — a 1? ) die Anzahl aller ins Innere ihrer Strecken gerichtetenEckvektoren, so ist

(1*) a — — a° .

Wir bestimmen a auf eine zweite Weise, indem wir jede der Strecken T v \einzeln betrachten: Eine singulare Stelle des 1-dimensionalen Vektorfeldes $8ist — in sinngemäßer Anwendung der für n Dimensionen getroffenen De-finitionen — mit dem Index +1 zu versehen, falls in ihrer Umgebung

15 ) Bezeichnungen und Vorzeichen sind im Hinblick auf die Übereinstimmungmit dem n- dimensionalen Fall gewählt.