Vektorfelder in n- dimensional en Mannigfaltigkeiten.

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alle Vektoren von ihr fort, mit dem Index — 1, falls in ihrer Um-gebung alle Vektoren nach ihr hinweisen, mit dem Index 0, falls in ihrerUmgebung alle Vektoren gleichgerichtet sind (und die Singularität daherhebbar ist). Singularitäten mit anderen Indizes treten für n — 1 nichtauf. s y i sei die Summe der Indizes aller Singularitäten von SS auf T y \,— a v i die Anzahl der ins Innere von T v i weisenden Eckvektoren; dannist s r i=— 1, 0 oder 4-1, je nachdem — a v i = 2, 1 oder 0 ist; jeden-falls ist also

(2*) a p i — — 1 + s„i.

Summierung liefert

(3*) a=-([ 1 |s 1 ,

und hieraus folgt durch Vergleich mit (1*)

(4*) s 1 — cc 1 — cc° = — (a 0 — K 1 ) .

Dies ist für n = 1 die in unserem Satz behauptete Beziehung. Wir nehmenihn nun für n — 1 als bewiesen an. Ist dann C" ein Komplex und 58 einderartiges komplexstetiges Vektorfeld in ihm, daß man Vektorfelder U,.«mit den oben unter 2. genannten Eigenschaften a), b), c) konstruierenkann, so folgt, da SB* komplexstetig ist und der Satz für den Rand-komplex C n l richtig, da also

s" -1 = (—1)" _1 - l) fc a"

fc=0

sein soll, aus (4) die behauptete Beziehung

(5) s" = ß " 1)"«" = (-1)" j?(-i)*«*.

lc-0 le= 0

Jedoch wissen wir nicht, ob man die Felder U,,stets konstruieren kann.Da aber ein durch Unterteilung von C n entstandener Komplex dieselbeEulersche Charakteristik hat wie G n , so ist Satz I vollständig bewiesen,sobald, was im nächsten Paragraphen geschehen wird, die Richtigkeit desfolgenden Hilfssatzes gezeigt ist:

Ist Sí" eine reduzierte affine Darstellung des Komplexes C" und 58darin ein komplexstetiges Vektorfeld, so kann man durch Unterteilungvon 2t" eine Darstellung 33" und in 58" ein komplexstetiges Vektorfelddessen Singularitäten mit denen von 58 in bezug auf Lage und Indexidentisch sind, derart herstellen, daß sich in jedem w-dimensionalen Sim-plex von 58" ein Vektorfeld U ; » konstruieren läßt, welches in bezugauf die Eigenschaften a), b), c) besitzt.