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H. Hopf.

§4.

Vervollständigung des Beweises zu dem Satz über die Indexsumme derSingularitäten eines komplexstetigen Vektorfeldes.

Um S3" und ^ in der gewünschten Weise zu erhalten, beseitigen wirzunächst die im Innern der Simplexe T "n von 21" angebrachten Vektorenvon 33 und ersetzen sie durch ein neues Vektorfeld das dieselben Rand-felder und dieselben Singularitäten mit denselben Indizes besitzt wie 93,das aber in gewissen Umgebungen Q iP s ) der singulären Punkte P„ — dieseselbst natürlich ausgenommen — analytisch ist; daß es derartige gibt,ist an anderer Stelle 18 ) gezeigt worden. ^ ist komplexstetig in 2Í", daes mit dem komplexstetigen Feld $8 die Randfelder gemeinsam hat; istdaher (nach § 3,1) auch komplexstetig in jeder durch Unterteilung von 21 "entstandenen Komplexdarstellung 58", sofern nur keiner der singulärenPunkte auf einem Randsimplex von 58" liegt. Ist nun y eine beliebigepositive Zahl, so stellen wir durch Unterteilung von 21" eine DarstellungS3"(y) her, die außer der eben genannten Berücksichtigung der singulärenStellen noch folgende Bedingungen erfüllt :

33 "(y) ist eine so feine Zerlegung, daß 1. jedes einen singulärenPunkt P a enthaltende Simplex t n von 58" (y) ganz in der analytischenUmgebung Q (P e ) liegt, und daß 2. die Schwankung der Vektorrichtungenvon in jedem t n , das nicht ganz in einem Q (P s ) liegt, kleiner ist als y;Bedingung 2 läßt sich, wenn 1 bereits erfüllt ist, durch weitere Unter-teilung infolge der gleichmäßigen Stetigkeit von außerhalb der Q(P e )stets erfüllen. 3. soll 93" (y) die Eigenschaft haben, daß jedes der Sim-plexe t n mit einem von endlich vielen, von vornherein durch 2Í" bestimmtenSimplexen rtj? in Gestalt und Lage übereinstimmt (§1,4); daßdie Erfüllung von 3 mit einer beliebigen Verfeinerung der Unterteilungverträglich ist, wurde in § 1, 4 gezeigt.

Wir beweisen nun, daß man bei hinreichend kleinem y Vektorfelder Uin der gewünschten Weise an den Rändern der t' l „ anbringen kann. Umderartige y zu bestimmen, fassen wir zunächst ein Simplex r e " ins Auge:Ey 1-1 [v = \, ..., n -|- 1 ] seien die r" begrenzenden ebenen Räume, derenpositive Seiten wie in § 1, 5 definiert seien. Unter einem „negativenRichtungsstern o Q von r"" verstehen wir ein System von n- 1-1 in einemfesten Punkt O des Raumes angebrachten Einheitsvektoren ct„, die sogerichtet sind, daß a,. [v = 1, ..., n + 1J nicht nach der positiven Seitevon E" -1 zeigt, also entweder nach der negativen Seite von Ey 1 " 1 weistoder parallel mit E '" _1 ist. Die a e bilden eine (n— 1)•(»+ l)-dimensionaIe

18 ) § 5, Aufgabe 4, Zusatz, der unter 6 ) zitierten Arbeit.