Vektorfelder in tt-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. 241

abgeschlossene Menge S e . Unter den \n-(n-\-\) Winkeln zwischen jezwei der Richtungen eines a„ gibt es einen größten, m(a c ); dabei sindWinkelgrößen so zu messen, daß sie stets zwischen 0 und ji einschließlichliegen. m(a g ) ist stets positiv; denn wäre m(o g ) = 0, so würde dasbedeuten, daß alle Vektoren a v eines a e in einen einzigen Vektor a zu-sammenfielen und daß daher dieser Vektor a für kein E" _1 nach derpositiven Seite gerichtet wäre; dies ist aber unmöglich, da eine zu aparallele, durch einen inneren Punkt von r" gehende orientierte Geradenach der positiven Seite desjenigen i?" -1 gerichtet ist, durch den sie inr" eintritt. Es ist also immer m(ö c )> 0; da andererseits m(a e ) als einein der abgeschlossenen Menge S„ stetige Funktion an einer Stelle ihreuntere Grenze y e erreicht, ist auch y Q > 0 .

Wir definieren nun y als die kleinste der r Zahlen y 1 ,...,y r undhaben zu beweisen, daß man unter Zugrundelegung der Unterteilung 58"( y )sowohl (Fall a ) in jedem Simplex t ", auf dessen Rand in ) die Schwankungvon kleiner als y ist, als auch (Fall ß ) in jedem Simplex t n , aufdessen Rande ^ analytisch ist, ein Vektorfeld II mit den Eigenschaftena), b), c) (s. §3) konstruieren kann.

Wir beginnen mit Fall a : t" habe also die Eigenschaft, daß derWinkel zwischen je zwei Vektoren, die dem auf seinem Rande befind-lichen Teil $ß 0 von angehören, kleiner als y ist; dann gibt es, sobehaupten wir, unter seinen Randräumen F±~ r , ..., F„+ mindestenseinen, nach dessen positiver Seite alle Vektoren von gerichtetsind. Andernfalls ließe sich nämlich aus Vektoren von ein ne-gativer Richtungsstern o von t" bilden, und dieser wäre zugleich einnegativer Richtungsstern desjenigen t ", mit dem t" in Gestalt und Lageübereinstimmt; es wäre dann m (0) y e ^ y, entgegen der Tatsache, daßdie Schwankung von kleiner ist als y . — Es seien also alle Vektorenvon etwa nach der positiven Seite von Fi~ l gerichtet. A sei eininnerer Punkt des zu F"~ l gehörigen Randsimplexes von i", g ein

ins Innere von i" gerichteter, von A ausgehender Halbstrahl; t" 1 , ■■■, C+ /seien die übrigen (n — 1)- dimensionalen Randsimplexe von i 0 ", der

zu ihnen gehörige Teil von ^ß 0 , M die (eventuell leere) Menge der Punktevon g , in denen g von den durch die Vektoren von bestimmten Halb-strahlen geschnitten wird. A gehört nicht zu M, da andernfalls derA enthaltende Halbstrahl von ï|3 0 nicht nach der positiven Seite von FÎ"gerichtet wäre. M ist aber abgeschlossen; es gibt daher auf g im Innernvon to Punkte, die nicht zu M gehören; B sei ein solcher Punkt. Wirdefinieren nun das auf dem Rand von t" zu konstruierende Feld U 0 zu-

1B ) Es genügt, iß auf den Rändern der t" zu betrachten.