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H. Hopf.

nächst auf den t"~ l , ■.., C+i' durch die Bestimmung, daß diese Vektorenalle durch B hindurchgehen; dann erfüllt es dort gewiß die Bedingungena), b), c), denn es ist überall ins Innere von i" gerichtet und hat mit^J3 0 überhaupt keinen Übereinstimmungspunkt. Wir haben U 0 nun nochin den inneren Punkten des Simplexes t\~ zu konstruieren, auf dessenRand es bereits festgelegt ist. Berücksichtigen wir, daß U 0 auf diesemRande und daß auf ganz if -1 nach der positiven Seite von P" -1weist, so können wir U 0 in den inneren Punkten von i" _1 folgendermaßenvorschriftsmäßig bestimmen: Ist P ein von A verschiedener innerer Punkt vonii" -1 , so sei P der Schnittpunkt des Strahles AP mit dem Rande von i" -1 ,p(P), p(-P), u(P) seien die in P bzw. P angebrachten Vektoren von*ß 0 bzw. U 0 , q(P) die Projektion des Vektors £(P) vom Vektor u(P)aus auf EÎ' 1 (d. h., wie früher, der Schnitt von E"^ 1 mit der durchu(P), p (P) und den zu u(P) diametralen Vektor ü(P) ausgespanntenHalbebene), C| (P) der in P angebrachte, zu q (P) parallele Vektor. Derzu definierende Vektor u(P) soll nun derjenige Vektor des von p (P)und q (P) ausgespannten 2 - dimensionalen, zwischen 0 und n liegendenWinkels sein, der diesen Winkel so teilt, daß das Winkelverhältnis^C{p(P) u (P)} : ^C{u(P) q(P)} gleich ist dem Produkt aus dem Winkel-verhältnis ^C{p(P) u(P)} : <£{u(P) q(P)} und dem StreckenverhältnisAP : AP; in A selbst soll u(^) = p(^4) sein. Das nunmehr auf demganzen Rand von i" definierte Feld U 0 genügt allen Anforderungen: esist stetig, überall nach innen gerichtet und hat mit 5ß 0 einen einzigenÜbereinstimmungspunkt A.

Damit ist Fall a erledigt, und wir wenden uns dem Fall ß zu, wirsetzen also voraus, daß auf dem Rande von t" analytisch ist. K" seieine ganz im Innern von gelegene Vollkugel. Dann gibt es einenpositiven Winkel <5 derart, daß jeder Winkel, dessen Scheitel und einerSchenkel dem Rand von t " angehören, während der andere Schenkel einenPunkt von K n enthält, größer als ô ist. Wir teilen die Randsimplexei" -1 , ..., C+i i n s0 kleine Teilsimplexe s" -1 , daß die Schwankung vonin jedem einzelnen s" -1 kleiner als <5 ist; wenn dann ein zu einem Punktvon s" _1 gehöriger Vektor von ^3 0 nach einem Punkt von K" weist, soweisen alle ^-Vektoren von s" -1 ins Innere von — Die Halbstrahlen,die durch die in den (n — 2)-dimensionalen Randsimplexen s"~ 2 der s" -1angebrachten Vektoren von festgelegt sind, bilden eine endliche Anzahlanalytischer, (n — 1) -dimensionaler Hyperflächenstücke; es gibt daher inK" gewiß Punkte, die auf keiner dieser Hyperflächen liegen; C sei einsolcher Punkt. Definieren wir dann ll 0 zunächst in den s"~ 2 durch dieBestimmung, daß die Vektoren il (P) nach C weisen, so sind dort keineÜbereinstimmungspunkte mit vorhanden. Dieselbe Festsetzung treffen