Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

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wir für diejenigen s" -1 , in denen kein zu gehöriger Strahl nach einemPunkt von K n weist; auch dort treten dann keine Übereinstimmungs-punkte von lt 0 und auf. In den übrigen s" -1 weisen alle Vektorenp (P) ins Innere von i 0 ", und dasselbe gilt für die auf ihren Rändernschon angebrachten Vektoren von H 0 . Wir können daher in jedem ein-zelnen von ihnen durch das Verfahren, mit dem wir im Fall a das Sim-plex behandelt haben, nach innen gerichtete Vektoren u (P) kon-struieren, die sich an die am Rande von s" -1 bereits vorhandenen Vek-toren von U 0 stetig anschließen und im Innern von s" -1 in genau einemPunkt mit dem Feld übereinstimmen.

Damit ist auch Fall ß erledigt, die Gültigkeit des am Ende desvorigen Paragraphen formulierten Hilfssatzes ist gezeigt und Satz I voll-ständig bewiesen.

§5.

Fixpunkte kleiner Transformationen und Singularitäten stetigerVektorfelder in geschlossenen Mannigfaltigkeiten.

Wir machen nun Anwendungen von Satz I und beschränken uns da-bei ausschließlich auf den Fall, daß C n — M n eine geschlossene (berandeteoder unberandete) Mannigfaltigkeit ist.

Jedem Punkt P von M" sei eine ihn enthaltende Umgebung U(P)zugeordnet, die so klein ist, daß sie bei Zugrundelegung einer bestimmten„ausgezeichneten Umgebungsdarstellung" 2I" von M" — in der Bezeichnungvon § 2 — ganz in jedem der Elemente E"n dargestellt wird, die dieBilder der Simplexumgebungen der P enthaltenden Simplexe sind; fürhinreichend kleine Umgebungen U(P) ist diese Bedingung gewiß erfüllt.f sei nun eine eindeutige und stetige Abbildung von M n auf eine zu M ngehörige Punktmenge und so „klein", daß mit P das Bild f{P) der Um-gebung U[P) angehört; ferner besitze f, falls M" berandet ist, auf demRande keinen Fixpunkt. Dann ist f in bezug auf 21" eine „Umgebungs-transformation' 1 und erzeugt ein komplexstetiges Vektorfeld, dessen Singu-laritäten, von denen wir, da sie innere Punkte von M n sind, voraussetzendürfen, daß sie nur im Innern der T„" auftreten 20 ), nach Lage und Indexmit den Fixpunkten von f identisch sind. Aus Satz I folgt dann

20 ) Zu jeder Darstellung von M" läßt sich eine mit ihr im Sinn der kom-binatorischen Topologie homöomorphe Darstellung, d. h. eine solche, die durch Zer-legung und Zusammensetzung von Simplexen entsteht, angeben, in der endlich vielevorgeschriebene innere Punkte von M n durch innere Punkte der n-dimensionalenSimplexe repräsentiert werden.