244

H. Hopf.

Satz II. Die Summe der Indizes der Fixpunkte einer hinreichendkleinen Transformation der geschlossenen Mannigfaltigkeit M n in sich ist,vorausgesetzt, daß höchstens endlich viele Fixpunkte auftreten, gleich dermit (—1)" multiplizierten Euler sehen Charakteristik von M ".

Hieraus ergibt sich:

Satz IIa. Jede hinreichend kleine Transformation einer Mannig-faltigkeit mit von 0 verschiedener Eulerscher Charakteristik in sich be-sitzt mindestens einen Fixpunkt.

Wir stellen nun die Frage, ob es denn in jeder M" beliebig kleineTransformationen mit höchstens endlich vielen Fixpunkten gibt. Daß dieseFrage zu bejahen ist, erkennt man — immer unter Benutzung der Be-zeichnungsweise von §2 — folgendermaßen: T", ..., Tâ» seien die Sim-plexe von 21", Ei , ..., Ea" die die Simplexumgebungen der T"„ dar-stellenden Elemente. Auf dem Rande von T* definiere man ein stetigesFeld von auch der Länge nach bestimmten, nicht verschwindenden Vek-toren, deren Endpunkte Ei angehören; ihnen entsprechen vermöge deraffinen Abbildungen, die zwischen den Teilen der verschiedenen E,', l n bestehen,Vektoren auf gewissen Randsimplexen gewisser der Tl 1 , , T„n . DieseVektoren bringen wir in den Punkten, zu denen sie gehören, an, so daß jetztein Teil der Randsimplexe von TT„,, mit Vektoren besetzt ist.Wir bringen nun auf dem ganzen Rand von T-T ein Feld von Vektorenan, deren Endpunkte in E« liegen und unter denen die auf gewissenRandsimplexen von T¡ 1 eventuell bereits angebrachten enthalten sind; daßdiese Anbringung von Vektoren stets möglich ist, wurde in der Arbeit „Ab-bildungsklassen w-dimensionaler Mannigfaltigkeiten" 0 ) (§ 5; 2, 3) gezeigt.So fahren wir für >- = 3,4,..., ß" fort, bis die Ränder aller T"n voll-ständig mit Vektoren besetzt sind. Darauf wählen wir im Innern jedes T"neinen Punkt P u „ und ordnen jedem von ihm verschiedenen Punkt P vonT,]\ denjenigen Vektor PP' zu, der parallel ist zu dem Vektor desjenigenRandpunktes P von T,% , in den P von P fl n aus projiziert wird, unddessen Länge sich zu der des genannten Randvektors verhält wie dieStrecke P, t *P zu der Strecke P f ,nP; dem Punkte P„n selbst ordnen wirden verschwindenden Vektor zu. Auf diese Weise ist ein Vektorfeld mitden Singularitäten P„n definiert. Durch die Vorschrift, daß jeder Punktin denjenigen Punkt des in ihm angebrachten Vektors PP' übergehen soll,der die Strecke PP' in dem Verhältnis t : 1 — t teilt, ist für jedes tzwischen 0 und 1 eine Umgebungstransformation f t definiert. Die Scharder f t konvergiert gleichmäßig gegen die Identität, wenn t sich der 0nähert; jede dieser Abbildungen hat die Punkte P fl n, und nur diese, zuFixpunkten.