Vektorfelder in w-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

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Es gibt also beliebig kleine Transformationen von M n mit endlichvielen Fixpunkten. Wir ziehen hieraus eine Folgerung: Ist M[ l eine zu M"homöomorphe, d. h. eineindeutig und stetig auf M n abbildbare Mannig-faltigkeit, so läßt sich in M n eine Transformation mit endlich vielenFixpunkten konstruieren, die jeden Punkt so wenig von seinem Ausgangs-punkt entfernt, daß diese Abbildung nicht nur in bezug auf eine Dar-stellung von M n , sondern auch in bezug auf eine Darstellungvon M™ eine Umgebungstransformation ist. Da nun der Index eines Fix-punktes eine topologische Invariante der betreffenden Transformation ist '),so ergibt sich hieraus auf Grund von Satz II der folgende bekannte

Satz III. Homöomorphe Mannigfaltigkeiten haben dieselbe EulerscheCharakteristik.

Dieser Satz ist einer der klassischen und einfachsten Sätze der kombina-torischen Topologie 5 ), in der man zwei Mannigfaltigkeiten als homoömorphbetrachtet, wenn ihre Darstellungen miteinander isomorphe ( s. § 1) Unter-teilungen besitzen. Der eben geführte Beweis gilt für die Topologie imweiteren Sinne, in der man zwei Mannigfaltigkeiten bereits dann alshomöomorph bezeichnet, wenn sie sich eineindeutig und stetig aufeinanderabbilden lassen. Auch unter diesem allgemeineren Gesichtspunkt istSatz III bereits von Alexander 21 ) bewiesen worden.

Wir verfolgen nun die oben angeschnittene Frage nach der Existenzbeliebig kleiner Transformationen mit endlich vielen Fixpunkten weiter:Ist es möglich, eine beliebig kleine Transformation anzugeben, welche anden vorgeschriebenen inneren Stellen Q 1} ..., Q m (m 0) Fixpunkte mitden vorgeschriebenen Indizes q 1 ,...,q m besitzt, falls nur deren Summegleich der mit (—1)" multiplizierten Charakteristik c von M n ist? Diesist in der Tat stets möglich 22 ). Denn die Punkte P 1; ..., P a „, Q 1 , ..Q mlassen sich in ein zu M n gehöriges Element F einschließen 23 ), und indiesem läßt sich weiter ein die genannten Punkte im Innern enthaltendesElement F 1 angeben. Wir wählen nun — in der obigen Bezeichnung —t so klein, daß das durch f t gelieferte Bild von F 1 ganz in F liegt. F' seiein dem gewöhnlichen Raum angehöriges topologischen Bild von F, Fi inihm das Bild von Fi, P/, ..., P a ' n , Q[,...,Q' m seien die Bilder derP x , ...,P a n, Qi, • ■Qm- D ßr Abbildung f t entspricht eine Abbildung fl

21 ) J. W. Alexander II, A proof of the invariance of certain constants of Ana-lysis Situs, Transact, of the Am. Math. Soc. 16 (1915). — Dort wird die Invarianzder Bettischen Zahlen für die Topologie im weiteren Sinne bewiesen. Da die EulerscheCharakteristik durch die Bettischen Zahlen ausdrückbar ist (s. z. B. Tietze a.a.O.),ist damit Satz III bewiesen; vgl. auch H. Kneser a.a.O., Fußnote 2 auf S. 12.

22 ) Wir setzen w > 2 voraus.

•") s. § 2 der in Fußnote 6 ) genannten Arbeit.