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H. Hopf.

von F[ auf einen Teil von F'; ihre Fixpunkte sind PI, ..., P,[n , die zu-gehörigen Indizes sind wegen ihrer topologischen Invarianz dieselben wiedie entsprechenden Indizes bei der Abbildung f t \ die von den Rand-punkten von F[ nach deren Bildpunkten bei der Abbildung f/ gezogenenVektoren definieren daher eine Abbildung des Randes von Fl auf dieRichtungskugel, deren Grad (— 1 ) n -c ist. Auf Grund der Lösbarkeit 22 ) einer„Randwertaufgabe für Vektorverteilungen" (s. die oben 6 ) zitierte Arbeit

m

über Abbildungsklassen, § 5, 4) können wir, da auch JJ q fl = (— l)"c ist,

ft= i

diese Randvektoren derart zu einem in ganz Fl definierten stetigen Vektor-feld ergänzen, daß dessen Vektoren in den Qú (¡u = 1, ..m), und nurdort, verschwinden, und daß die Singularitäten des Richtungsfeldes indiesen Punkten die Indizes q fl besitzen. Die Vektoren dieses Feldes könnenwir überdies alle so klein wählen, daß ihre Endpunkte sämtlich im Innernvon F' liegen. Durch die Vorschrift, daß jeder Punkt von Fl in den End-punkt des in ihm angebrachten Vektors übergehen soll, wird Fl derartauf einen Teil von F' abgebildet, daß diese Abbildung g' auf dem Randemit ft übereinstimmt und in den Q',, Fixpunkte mit den Indizes q fl hat,im übrigen aber fixpunktfrei ist. Der Abbildung g' entspricht in F 1 eineanaloge Abbildung g; ersetzen wir nun f t im Innern von F 1 durch g,während wir im Äußern und auf dem Rande von F 1 f t unverändert lassen,so haben wir eine Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften kon-struiert. Damit ist bewiesen:

Satz IV. Sind Q 1 , ..., Q m (m 0) beliebige innere Punkte der Man-nigfaltigkeit M n , q 1} ...,q m beliebige ganze Zahlen, deren Summe gleichder mit (— 1)" multiplizierten Charakteristik von M n ist, so gibt es beliebigkleine Transformationen von M 71 in sich, die in den Q„ (¡u = 1, ... m)Fixpunkte mit den Indizes g u besitzen, im übrigen aber fixpunktfrei sind 22 ).

Ein Spezialfall dieses Satzes ist:

SatzIVa. Jede Mannigfaltigkeit, deren Charakteristik 0 ist, gestattetbeliebig kleine fixpunktfreie Transformationen in sich.

Da für jede unber ándete geschlossene Mannigfaltigkeit ungeraderDimensionenzahl die Charakteristik 0 ist, so gilt insbesondere

Satz IVb. Jede geschlossene unberandete Mannigfaltigkeit ungeraderDimensionenzahl gestattet beliebig kleine fixpunktfreie Transformationenin sich.

Wir betrachten nun Vektorfelder, die stetig im gewöhnlichen Sinnesind: In einer Umgebung U(P) jedes Punktes P von M " sei eineMenge kartesischer Koordinatensysteme derart ausgezeichnet, daß dieKoordinaten von je 2 (zu demselben Punkt oder zu verschiedenen