Vektorfelder in w-dimenBionalen Mannigfaltigkeiten.

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Punkten gehörigen) Koordinatensystemen in jedem ihnen gemein-samen Stück durch stetig differenzierbare Transformationen aus-einander hervorgehen; Randmannigfaltigkeiten von M n sollen in diesenKoordinatensystemen stetig differenzierbar sein. Dann ist klar, was unterStetigkeit eines Vektorfeldes 15 ) zu verstehen ist. Um die Untersuchung derIndizes eines solchen Vektorfeldes direkt auf die Betrachtung unsererkomplexstetigen Felder zurückführen zu können, müßten wir eine Dar-stellung von M n besitzen, in der die Ränder jedes einzelnen Simplexes T"nauch in bezug auf eins der in M n ausgezeichneten Koordinatensystemeebenen Räumen angehörten. Die Existenz einer solchen Darstellung istnicht selbstverständlich. Wir beschränken uns, um die hiermit angedeuteteSchwierigkeit zu vermeiden, auf den Spezialfall, daß M n eine RiemannscheMannigfaltigkeit ist; d. h. in jedem Punkt ist in bezug auf jedes aus-gezeichnete Koordinatensystem eine stetig von dem Punkt abhängigesymmetrische Matrix (g ik ) (i, k =-1, .. n) gegeben, deren zugehörige

n

quadratische Form g ilc dx i dx k = ds 2 positiv définit ist und ihren Wert

i, fc=l

beim Übergang von einem ausgezeichneten Koordinatensystem zu einemanderen nicht ändert. In jeder derartigen Riemannschen Mannigfaltigkeitentspricht nun jedem hinreichend kleinen Vektor eine Verschiebung desPunktes, in dem er angebracht ist, und jeder hinreichend kleinen Ver-schiebung ein Vektor in dem betreffenden Punkt. Mithin folgt aus denSätzen II und IV

Satz V. Die Summe der Indizes eines Vektorfeldes in einer Riemann-schen Mannigfaltigkeit ist gleich der mit (—1)" multiplizierten Charakteri-stik; man kann stets 22 ) ein Vektorfeld mit vorgeschriebenen Singularitätenund Indizes konstruieren, sofern deren Summe gleich der genannten Zahlist; es existiert dann und nur dann ein singularitätenfreies Vektorfeld,wenn die Charakteristik 0 ist-, insbesondere läßt sich in jeder unberan-deten geschlossenen Mannigfaltigkeit ungerader Dimensionenzahl ein solchesanbringen.

Unter den hiermit behandelten Riemannschen Mannigfaltigkeiten sindz.B. diejenigen enthalten, die in den (n + ¿)-dimensionalen euklidischenRaum (k^>0) in stetig differenzierbarer Weise eingebettet sind; im Fallk — 0 also die von endlich vielen stetig differenzierbaren (n — l)-dimen-sionalen geschlossenen unberandeten Hyperflächen begrenzten Teilmannig-faltigkeiten des Raumes; ferner die Cliff ord-Kleinschen Mannigfaltigkeiten,sowie viele andere, in denen sich eine Riemannsche Metrik definieren läßt ;als Beispiel seien etwa noch die komplexen projektiven Räume Z k genannt,d.h. die Gesamtheiten aller Verhältnisse z 0 :...:z k von komplexen, nicht