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H. Hopf.

sämtlich verschwindenden Zahlen; in ihnen läßt sich eine Maßbestimmungmit dem Bogenelement

, . 1

ds- —

k - \ 2

2 z¡ Zii= 0 /

k k

ZZi-êi IZi-dZi

1=0 i=0k k

J¡dz i -z i 2!dz i -dz i

i=0 i=0

definieren 24 ).

Wir verweilen noch einen Augenblick bei dem Fall der vongeschlossenen Hyperflächen begrenzten Teilmannigfaltigkeit des w-dimen-sionalen Raumes; M n sei durch die geschlossene unberandete HyperflächeM n ~ l begrenzt. Die Vektoren eines Feldes der betrachteten Art gehörenalle M n an, sind also auf M 1l ~ x überall entweder ins Innere von M ngerichtet oder tangential an M"' 1 . Die durch diese Vektoren gelieferteAbbildung von M n_1 auf die Richtungskugel hat den Grad (—l) n -c,wenn wieder c die Charakteristik von M n ist; die zu dieser Abbildungdiametrale Abbildung, die durch ein Feld nirgends ins Innere von M ngerichteter Vektoren vermittelt wird, hat daher den Grad (— 1)" • ( — 1)" - c = c.Dieser Grad ist die „Curvatura integra" von M ni ). Damit ist bewiesen:

Satz VI. Die Curvatura integra einer im n-dimensionalen Raumliegenden, stetig differenzierbaren, eine n-dimensionale Mannigfaltigkeitbegrenzenden, Jordanschen Hyperfläche ist gleich der Charakteristik derbegrenzten Mannigfaltigkeit.

Diesen Satz habe ich früher nur für den Spezialfall bewiesen, daßdie begrenzte Mannigfaltigkeit ein Element ist. Ferner ergab sich an dergenannten Stelle: Die 2k-dimensionale geschlossene, nicht notwendigJordansche, stetig differ enzierb are Hyperfläche m des (2k + l)-dimensio-nalen euklidischen Raums sei ein „Modell" der zweiseitigen, geschlossenen,unberandeten Mannigfaltigkeit M~ k ; dann ist ihre Curvatura integra C(m)eine topologische Invariante von i)i 2 ' 1 , und die Indexsumme der Singu-laritäten jedes an m tangentialen Vektorfeldes ist, vorausgesetzt, daß nurendlich viele Singularitäten vorhanden sind, gleich 2 C(m). Hieraus folgtnunmehr :

Satz VII. Die Curvatura integra einer geschlossenen, nicht notwendigJordanschen, stetig differenzierbaren Hyperfläche des (2k + \)-dimen-sionalen Raumes, die ein Modell der zweiseitigen, geschlossenen, unberan-deten Mannigfaltigkeit M ik ist, ist gleich der halben Charakteristik von M 21 .

-') In § 5 der unter 4 ) zitierten Arbeit habe ich auf einfache Weise eine beliebigkleine Transformation bzw. ein Vektorfeld in Z¡, mit der Indexsumme k + 1 angegebenund außerdem in etwas umständlicher Weise gezeigt, daß die Charakteristik denWert k+l hat; diese Bestimmung der Charakteristik ist nunmehr auf Grund vonSatz V überflüssig.