Vektorfelder in »i-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

249

Daraus ergibt sich weiter (vgl. die mehrfach, zitierte frühere Arbeit),da die Curvatura integra stets eine ganze Zahl ist:

Satz VIII. Eine geschlossene, unberandete, ziveiseitige Mannigfaltig-keit M n mit ungerader Charakteristik besitzt im (n + 1)" dimensionaleneuklidischen Raum keine stetig differenzierbare Hyperfläche als Modell,auch nicht bei Zulassung von Selbstdurchdringungen.

Das einfachste Beispiel für eine solche M n ist die als „komplexeprojektive Ebene" definierte vierdimensionale Mannigfaltigkeit Z„ (s. Fuß-note 24).

Ein Analogon zu Satz VIII ist die Tatsache, daß eine 2&-dimen-sionale geschlossene Mannigfaltigkeit M 2k , die die vollständige Berandungeiner geschlossenen M s ' c+1 bildet, stets eine gerade Charakteristik hat,nämlich die doppelte Charakteristik von M ¿k+í - & ). Eine M" k mit unge-rader Charakteristik, also z. B. Z 2 , kann daher durchdringungsfrei über-haupt in keinen einfach zusammenhängenden, nicht notwendig mit demgewöhnlichen Raum homöomorphen, geschlossenen (2 k +1)- dimensionalenRaum R' 2lc+1 eingebettet sein — wenigstens nicht im Sinne der kombi-natorischen Topologie, d. h. so, daß sie durch einen Teil des'Randkomplexeseiner Darstellung von R 2 k41 repräsentiert wird —, da sie dann dieBegrenzung jedes der beiden Teile bilden würde, in die sie R 2k ' 1 zerlegenmüßte 28 ).

25 ) Dies folgt daraus, daß die unberandete (2 k -f 1 ) -dimensionale Mannigfaltig-keit, welche durch Identifizierung entsprechender Bandpunkte zweier Exemplare vonM" lc+1 entsteht, die Charakteristik 0 besitzt ; vgl. Dyck, Beiträge zur Analysis Situs II,Math. Ann. 37 (1890).

- 6 ) H. Kneser, Ein topologischer Zerlegungssatz, Koninkl. Akad. v. Wetenschapente Amsterdam Proc. 27, Sept. 1924.

(Eingegangen am 11. 8. 1925.)

Zusatz.

Ich bin darauf aufmerksam gemacht worden, daß der Begriff der„komplexstetigen Vektorfelder", auf dessen Verwendung die Ergebnisseder obigen Arbeit im wesentlichen beruhen, nicht klar genug definiertworden ist und zu Mißverständnissen Anlaß gegeben hat. Ich formulieredaher diese Definition noch einmal ausführlicher als früher:

21" sei eine reduzierte affine Darstellung des Komplexes C n . EineZuordnung SS von Vektoren Ö (P) zu den Punkten P von 2Í heißt ein in C n

Mathematische Annalea. 96. 17