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H. Hopf. Vektorfelder in M-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.

(in bezug auf 21") „komplexstetiges Vektorfeld", wenn folgende Bedingungenerfüllt sind:

A. Im Inneren und auf dem Rande jedes einzelnen T,". [/n n = 1,.. ß n ]ist iß eindeutig und stetig, abgesehen höchstens von endlich vielen imInneren gelegenen Punkten.

B. P 0 sei ein Randpunkt von T"~ k [1 ^k<Ln] sei irgendeinRandsimplex — nicht notwendig dasjenige niedrigster Dimensionenzahl —,dem P 0 angehört. 7" ~ A [ o = 1] seien die mit T" 1 in G n alsidentisch zu betrachtenden Randsimplexe anderer T"n, P„ die P 0 ent-sprechenden Punkte der T"~ l , (W£) e [g = 0, die k-fachen Win-kel, deren Scheitel diejenigen ebenen Räume -S" -7 ' sind, zu welchen dieTn ~ k gehören.

Dann tritt stets einer von folgenden beiden Fällen ein:

I. (Hauptfall.) Von den r+1 Vektoren ti (P e ) weist genau einerins Innere seines (W£) e , während alle anderen ins Äußere ihrer (IP")e ge-richtet sind.

II. (Grenzfall.) Einer der Vektoren ö(P e ), etwa b(P 0 ), gehört demRande seines (W£) 0 an; dann kann es unter den Vektoren ü*, welche vermögder zwischen den Randräumen bestehenden affinen und transitiven Zuord-nungen dem Vektor b(P 0 ) entsprechen, einen oder mehrere geben, dieebenfalls zu 23 gehören; es brauchen aber nicht — im Gegensatz zu demam Schluß des § 2 herangezogenen Spezialfall des im gewöhnlichen Sinnstetigen Vektorfeldes in einer Mannigfaltigkeit — alle diese ü* zu 33 zugehören. Alle übrigen Vektoren ö(P e ), welche nicht Vektoren b* sind,zeigen ins Äußere ihrer {W£) e .

(Eingegangen am 26. 5. 1926.)