Über affine Geometrie XL: Eiflächen konstanter

Affinbreite.

Von

Wilhelm Süß in Kagoshima (Japan).

1. Bekanntlich haben Eiflächen konstanter Breite b die Eigenschaft,daß die Verbindungssehne der Berührungspunkte zweier paralleler Stütz-ebenen die konstante Länge b besitzt und jede Normale eine Doppel-normale ist. Es liegt nahe, die Möglichkeit analoger Verhältnisse in deraffinen Geometrie der Eiflächen zu untersuchen. Dabei sei folgende De-finition zugrunde gelegt: Eine „stetig-differentiierbare" Eifläche E besitztdie konstante Affinbreite ß, wenn die Affinentfernung 1 ) jedes Punktes Pvon E von seinem „Gegenpunkt" 2 ) P' den konstanten Wert ß besitzt.Andererseits fragen wir nach den Eiflächen, deren Affinnormalen affineDoppelnormalen sind. Es wird sich herausstellen, daß beide Fragestellungennicht nur zu denselben Flächen führen, sondern sogar so einschneidendeBedingungen enthalten, daß sie charakteristische Eigenschaften des Ellip-soids darstellen. Wir werden folgenden Satz beweisen:

Die Ellipsoide sind sowohl die einzigen Eiflächen konstanter Affin-breite wie auch die einzigen analytischen Eiflächen, deren Affinnormalensämtlich affine Doppelnormalen sind.

Außerdem werden wir auf das affingeometrische Analogon des Satzesvon Herrn K. Reidemeister 3 ) eingehen, daß die Körper konstanten Durch-messers mit denjenigen konstanter Breite identisch sind. Am Schlüssebeschäftigen wir uns noch mit dem Problem der Eilinien, deren Affin-normalen affine Doppelnormalen sind, das auf Ellipsen führen wird.

*) Siehe z.B. W. Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie II, Berlin 1923,S. 110. Wir zitieren dies Buch mit (B).

2 ) D. h. in P und P' sind die Tangentenebenen einander parallel.

3 ) Über Körper konstanten Durchmessers, Math. Zeitschr. 10, S. 214 ff.

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