Eiflächen konstanter Affinbreite.

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Ferner erhält man durch Differentiation von (1):

K(£>S - E) + - S) + *(?.!»- E«) = 0 .

(f > Ë - s) + ¿ (f.. Ë - E) + ¿ (f. Ë« - E„) = 0 •

Hierin verschwinden die dritten Glieder, da die Tangentenebenen in (j)und (j) einander parallel sind. Und nach den Ableitungsgleichungen vonWeingarten ist:

t £

£¡ Eu »

Somit erhalten wir

(5c)

.

'v Q. '

- t ÄL -

j; Eu> E

IN

S =0,

Nach (5 a) und (5 c) aber folgt

— XL/J, = 0,

— XNv = 0 ,

oder nach (5 c)

(5 d)

^0 oV = -s P ■

l-N r

Aus (5a), (5b) und (5d) ergibt sich die behauptete Beziehung (4).Statt (4) können wir auch schreiben:

(6) 9 + 5 =

Es sei nun 0 der Mittelpunkt von E, und es mögen die Vektoren 50 zum Ursprung haben. Da die Tangentenebenen in den Endpunktenzweier entgegengesetzter Vektoren 5 einander parallel sind, so sind stets£ und j zwei solche von 0 aus einander entgegengesetzte Vektoren :

(7) C = £ + j = 0.

Nehmen wir nun an, E sei kein Ellipsoid, und wählen wir von nun andie Affinkriimmungslinien zu Parameterkurven («', v') 6 ), so folgt für £nach (4)

0 = Ê«' + E m ' = 2 E«' + ß t)u'

= E «'-[2 + ß(c}-h)] . = E» ' ' [2 + ß (c® — A)] ,

(B), S. 164.