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W. Süß.

wenn h die mittlere Affinkrümmung bedeutet. Daraus geht aber hervor:

cl — h = — h — — ~ ,

oder, da c. = 0 ist 7 ),

(8) A = J- = konst.

Nun sind aber die Ellipsoide die einzigen Eiflächen mit konstanter mitt-lerer Affinkrümmung h 8 ). Somit ist unsere Annahme, E sei kein Ellipsoid,falsch und der erste Teil unserer Behauptung in 1. bewiesen.

§2.

Eiflächen mit affinen Doppelnormalen.

3. Wir bezeichnen den zweiten Punkt, welchen die Affinnormale imPunkte (j) mit der analytischen Eifläche E gemeinsam hat, mit (£*).t)* möge der Affinnormalenvektor im Punkte (j*) sein. Dann lautet unsereFrage: Für welche Eiflächen E gibt es eine (skalare) Funktion des Ortesq(u, V ) derart, daß stets

(!) £*-E = g-9 = -<7*-l)*

ist, wenn q* den Wert von q im Punkte (£*) bedeutet?

(1) stellt eine doppelte Erweiterung der Gleichung (4) von § 1 dar,indem q nicht als konstant angenommen wird und die Tangentenebenenin (j) und (£*) nicht parallel sein müssen. Übrigens bedeutet q dieAffinentfernung des Punktes (£*) vom Punkte (j). 9 )

Wir nehmen wieder an, E sei kein Ellipsoid, und wählen die Affin-krümmungslinien zu Parameterkurven (u, v). Die Parameter (u, v) seiendabei so normiert, daß der Vektor ï) in das Innere von E weist und dieaffinen Hauptkrümmungsradien r 15 r 2 , r*, r* im Punkte (j) bzw. (ç*)positiv sind 10 ). Die Affinnormalen fy* bilden nun nach (1) gleichzeitigmit l) eine Torse; d. h. wenn sich der Punkt (j) auf einer Affinkrümmungs-linie bewegt, so beschreibt der zugeordnete Punkt j* gleichzeitig eineAffinkrümmungslinie. u und v können somit gleichzeitig in den Punkten(j) und (j*) als Parameter der Affinkrümmungslinien verwendet werden.Dann ist nach dem affingeometrischen Analogon zu der Formel vonO. Rodrigues

ís«+m m = O> i* + r * = 0 >u + M„=O, ?;+rf»; = o.

') (B), S. 163 (a ä2 ). - 8 ) (B), § 74.o) (B), S. 162 (a9) und S. 165 (184).10 ) (B), S. 212.