256 W. Süß.

dortigen Gleichung (4) zurückgeführt worden. E müßte also im Wider-spruch zu der anfangs gemachten Voraussetzung doch ein Ellipsoid sein.Hiermit ist der zweite Teil des in 1. behaupteten Satzes bewiesen.

4. Hier soll eine Betrachtung von Körpern konstanten Affindurch-messers beigefügt werden. Es sei B ein dreidimensionaler, von einergeschlossenen, zweiseitigen, ganz im Endlichen gelegenen, stetig -differentiier-baren Fläche F begrenzter Bereich. Unter dem „Affindurchmesser" D von Bverstehen wir das Maximum der Affinentfernungen e(ç, j) eines Punktes (j)aus B von einem Oberflächenpunkt (f ). In Analogie zu der entsprechendenDefinition von Herrn K. Reidemeister 8 ) sagen wir, daß B von konstantemAffindurchmesser sei, wenn es zu jedem Punkt (j) auf F einen Punkt (f)in (B) gibt derart, daß für jeden beliebigen anderen Punkt (5) aus B

(7) e(s, ï)<;«(ï, ï) = c

ist, wobei c eine feste endliche Zahl bedeutet. Hierbei ist nach ( 1 ) in § 1

(8) e(| S ) = %^ = A(|, 5 - ? ).

Wir behaupten: Ein IÇôrper B konstanten Affindurchmessers ist einEllipsoid.

Dazu müssen wir nach § 1 nur zeigen, daß die Oberfläche F von Beine Eifläche ist und konstante Affinbreite besitzt.

Daß F eine Eifläche ist, folgt aus (7). Denn zunächst muß überallauf F K > 0 sein. Nach unseren Voraussetzungen für F muß nämlichauf jeden Fall irgendwo auf F K > 0 sein. Wäre aber in einem Punktevon F K = 0, so müßte B ganz in eine Ebene fallen, weil andernfallsnach (8) unendliche Affinentfernungen möglich wären, was im Widerspruchzu der Endlichkeit der Konstanten c in (7) steht. Wenn aber K an einerStelle von F wesentlich positiv ist und nirgends verschwindet, so istüberall auf F K > 0 und F somit wegen seiner Geschlossenheit eineEifläche 12 ).

Wir betrachten nun die Menge M aller Punkte (a), für die( 9 ) e(a,£ o) = c

ist, wobei (f 0 ) ein fester Punkt von F ist. In M ist nach unserer De-finition (7) mindestens ein Punkt (£) von B enthalten. Ein solcherPunkt (ç) gehört selbst zu F, weil sonst nach (8), da B ein Eikörperist, der Schnittpunkt der Verlängerung von (j — f) über den Punkt (j)hinaus mit F größere Affinentfernung von (5) besäße als c. Alle Punkte (a)

12 ) Vgl. W. Blaschke, Kreis und Kugel. Leipzig 1916, S. 164.