Eiflächen konstanter Affinbreite. 257

in (9) liegen also auf F oder außerhalb B. Wir behaupten nun: DieMenge M der Punkte (et) ist eine zur Tangentenebene in (ç) an Fparallele Tangentenebene in (|) an F. Nach (8) und (9) ist M eine Ebene,die wegen

0

(«.$-

zur Tangentialebene in (5) parallel ist; M enthält den Punkt (j); sie istTangentialebene in (j) an F, da sie Stützebene von B sein muß; wegen (9)gäbe es nämlich andernfalls wie oben größere Affinentfernungen in B als c.

(j) und (j) sind somit ein Punktepaar, das mit (7) die Bedingungeneines Eikörpers konstanter Affinbreite erfüllt, w. z. b. w.

§3.

Eilinien mit affinen Doppelnormalen.

5. Wir fragen jetzt nach den Eilinien mit affinen Doppelnormalen.Es sei E{%) eine solche Eilinie. Wir behaupten: E ist eine Ellipse.

E möge auf die Affinlänge s als Parameter bezogen sein. Es sei (j)oder (j(s)) der zweite Schnittpunkt der Affinnormalen im Punkte (j(.s))mit E. Dann soll es also eine Funktiou q(s) geben derart, daß

(1) ï(*)-ï (*>=?(»)• £"(«),= -?(')• ï" (0

ist, wobei die Differentiation nach der Affinlänge stets durch Strichebezeichnet sei. Es sei k die Affinkrümmung, r = der Affinkrümmungs-radius und t)(s) der Affinevolutenvektor im Punkte (£(«))• Dann ist 13 ):

(9) ( t)(s) =ï(s) + r(s)ï"(s),

\ t)'(s) = r'(s) tç"(s).

Da die Affinnormalen Doppelnoimalen sein sollen, so ist

Í t)(s) _ =t)0)>

Hieraus schließt man unter Verwendung von (1) und (2) auf

1 r («)?(*) + »"(*) ff («) = q(s)q(s),

\ q(s)r'(s)s' + q{s)r'(s) = 0.

Differentiiert man (1) nach s, so erhält man wegen der Beziehungen 11

,,, f ï'(s) + r (s)z'"(s) = 0,

(6 L 1 <*'. £"). = 1

13 ) (B), S. 28.

") (B), S. 15. (a, b) bedeutet hier die Determinante a 1 b 1 — a„b 1 .