258 W. Süß.

die Gleichungen

\ (í'(s), £'(s))s' = ff'(s),\ (ï'(«), £'(«)) =-q'(s)s',

(6)

aus welchen folgt:

(7) ?'(«) + ffW = 0.

Nehmen wir zunächst an, es sei

?'(«)= o,

so folgt aus (6), daß j'(s) und j'(s) stets einander parallel sind. Dannist nach (1) und (5)

(ï(s)-ï(s), ï'(s))= -q=-q- |^ ( ( !j| ,

also 15 )

g(s) ■-= |ï'(s) 3 = ||'(s)! :! = e(s),wenn , q den äquiformen (gewöhnlichen) Krümmungsradius bedeutet. Dannaber ist E eine Eilinie mit Mittelpunkt. Da aber nach (4)

r ( s ) + r (s) = q = konst.

ist, so folgt für E

r (s) = r (s) = -| = konst.,

d. h. E ist eine Ellipse, wie wir behauptet haben.

Wir nehmen jetzt an, es sei nicht q' = 0, und werden aus dieserAnnahme einen Widerspruch ableiten. Es ist E dann keine Ellipse, alsoauch nicht r'(s) = 0.

Durch Differentiation von (4^ erhält man unter Verwendung von (4)und (7) nach kurzer Rechnung die Relation

(8) q(s)r(s) = q(s)r(s),

wobei von unserer eben ausgesprochenen Annahme Gebrauch gemacht wird.Aus (4) 2 und (8) ergibt sich weiter

, _ _ q(s)r'(s) __ r( s)r'(s)q(s)r'(s) r (s) r' (s) '

Also ist

(9) r 2 (s) + r" (s) = « 2 = konst.

(4) 1; (8) und (9) führen schließlich zu der Gleichung

(10) r(s)g(s) = a" — r"(s) + ?" 2 (s) = konst.

Hieraus erhält man noch

(11) q' («) + r (s) = r («) V r -4) =

16 ) (B), S. 32.